Denklemleri logaritmalarla çözme kök örnekleri bulur. Logaritmik denklem: temel formüller ve teknikler
Birçok öğrenci bu tür denklemlere takılıp kalıyor. Aynı zamanda, görevlerin kendileri hiçbir şekilde karmaşık değildir - yalnızca, kararlı ifadeleri nasıl izole edeceğinizi öğrenmeniz gereken yetkili bir değişken ikamesi gerçekleştirmek yeterlidir.
Bu derse ek olarak, her biri 6 görev içeren iki seçenekten oluşan oldukça hacimli bağımsız bir çalışma bulacaksınız.
Gruplandırma yöntemi
Bugün biri "baştan sona" çözülemeyen ve özel dönüşümler gerektiren iki logaritmik denklemi analiz edeceğiz ve ikincisi ... ancak her şeyi bir kerede anlatmayacağım. Videoyu izleyin, bağımsız çalışmayı indirin - ve karmaşık sorunları nasıl çözeceğinizi öğrenin.
Yani, gruplama ve ortak çarpanları parantezden çıkarmak. Ek olarak, size logaritma tanım alanının hangi tuzakları taşıdığını ve tanım alanı üzerindeki küçük açıklamaların hem kökleri hem de tüm çözümü nasıl önemli ölçüde değiştirebileceğini anlatacağım.
Gruplandırma ile başlayalım. Aşağıdaki logaritmik denklemi çözmemiz gerekiyor:
günlük 2 x günlük 2 (x − 3) + 1 = günlük 2 (x 2 − 3x )
Her şeyden önce, x 2 − 3x'in çarpanlara ayrılabileceğini not ediyoruz:
günlük 2 x (x - 3)
Sonra harika formülü hatırlıyoruz:
log a fg = log a f + log a g
Hemen küçük bir not: a, f ve g sıradan sayılar olduğunda bu formül iyi çalışır. Ancak onların yerine işlevler geldiğinde, bu ifadeler haklar bakımından eşit olmaktan çıkar. Bu varsayımsal durumu hayal edin:
f< 0; g < 0
Bu durumda fg çarpımı pozitif olacağından log a ( fg ) var olacak ama log a f ve log a g ayrı ayrı olmayacak ve böyle bir dönüşüm yapamayız.
Bu gerçeği göz ardı etmek, tanım alanının daralmasına ve sonuç olarak köklerin kaybolmasına yol açacaktır. Bu nedenle, böyle bir dönüşümü gerçekleştirmeden önce f ve g fonksiyonlarının pozitif olduğundan emin olmak gerekir.
Bizim durumumuzda her şey basit. Orijinal denklemde bir log 2 x fonksiyonu olduğundan, o zaman x > 0 (sonuçta, x değişkeni bağımsız değişkendedir). Ayrıca log 2 (x − 3) vardır, yani x − 3 > 0.
Bu nedenle log 2 x (x − 3) fonksiyonunda her faktör sıfırdan büyük olacaktır. Bu nedenle, ürünü güvenli bir şekilde toplama ayırabiliriz:
günlük 2 x günlük 2 (x - 3) + 1 = günlük 2 x + günlük 2 (x - 3)
günlük 2 x günlük 2 (x - 3) + 1 - günlük 2 x - günlük 2 (x - 3) = 0
İlk bakışta, kolaylaşmamış gibi görünebilir. Aksine: sadece terim sayısı arttı! Nasıl ilerleyeceğinizi anlamak için yeni değişkenler sunuyoruz:
günlük 2 x = bir
günlük 2 (x - 3) = b
bir b + 1 - bir - b = 0
Ve şimdi üçüncü terimi birinci terimle gruplandırıyoruz:
(a b - a) + (1 - b) = 0
bir (1 b - 1) + (1 - b ) = 0
Hem birinci hem de ikinci parantezin b - 1 içerdiğine dikkat edin (ikinci durumda, "eksi"yi parantezden çıkarmanız gerekir). Yapımızı çarpanlarına ayıralım:
bir (1 b - 1) - (b - 1) = 0
(b - 1)(bir 1 - 1) = 0
Ve şimdi harika kuralımızı hatırlayalım: çarpanlardan en az biri sıfıra eşit olduğunda çarpım sıfıra eşittir:
b - 1 = 0 ⇒ b = 1;
bir - 1 = 0 ⇒ bir = 1.
b ve a'nın ne olduğunu hatırlayalım. Geriye sadece log'un işaretlerinden kurtulmak ve argümanları eşitlemek olan iki basit logaritmik denklem elde ederiz:
günlük 2 x = 1 ⇒ günlük 2 x = günlük 2 2 ⇒ x 1 =2;
günlük 2 (x - 3) = 1 ⇒ günlük 2 (x - 3) = günlük 2 2 ⇒ x 2 = 5
İki kökümüz var ama bu orijinal logaritmik denklemin bir çözümü değil, sadece cevap adayları. Şimdi etki alanını kontrol edelim. İlk argüman için:
x > 0
Her iki kök de birinci gereksinimi karşılar. İkinci argümana geçelim:
x - 3 > 0 ⇒ x > 3
Ama burada zaten x=2 bizi tatmin etmiyor ama x=5 bize oldukça uyuyor. Bu nedenle, tek cevap x = 5'tir.
İkinci logaritmik denkleme geçiyoruz. İlk bakışta, çok daha basit. Bununla birlikte, çözme sürecinde, cehaleti acemi öğrencilerin hayatını önemli ölçüde zorlaştıran tanım alanıyla ilgili ince noktaları ele alacağız.
günlük 0,7 (x 2 - 6x + 2) = günlük 0,7 (7 - 2x)
Önümüzde logaritmik denklemin kanonik formu var. Hiçbir şeyi dönüştürmenize gerek yok - tabanlar bile aynı. Bu nedenle, argümanları basitçe eşitleriz:
x 2 - 6x + 2 = 7 - 2x
x 2 - 6x + 2 - 7 + 2x = 0
x 2 - 4x - 5 = 0
Önümüzde verilen ikinci dereceden denklem var, Vieta formülleri kullanılarak kolayca çözülüyor:
(x - 5) (x + 1) = 0;
x - 5 = 0 ⇒ x = 5;
x + 1 = 0 ⇒ x = -1.
Ancak bu kökler henüz kesin cevaplar değil. Orijinal denklemde iki logaritma olduğundan, tanım alanını bulmak gereklidir, yani. tanım alanını dikkate almak kesinlikle gereklidir.
Öyleyse tanım alanını yazalım. Bir yandan, birinci logaritmanın bağımsız değişkeni sıfırdan büyük olmalıdır:
x 2 - 6x + 2 > 0
Öte yandan, ikinci bağımsız değişken de sıfırdan büyük olmalıdır:
7 - 2x > 0
Bu gereksinimler aynı anda karşılanmalıdır. Ve burada en ilginç başlıyor. Tabii ki, bu eşitsizliklerin her birini çözebilir, sonra kesiştirebilir ve tüm denklemin alanını bulabiliriz. Ama neden hayatı kendin için bu kadar zorlaştırıyorsun?
Bir inceliği fark edelim. Günlük işaretlerinden kurtularak argümanları eşitleriz. Bu, x 2 − 6x + 2 > 0 ve 7 − 2x > 0 gereksinimlerinin eşdeğer olduğu anlamına gelir. Sonuç olarak, iki eşitsizlikten birinin üzeri çizilebilir. En zor olanı geçelim ve olağan doğrusal eşitsizliği kendimize bırakalım:
-2x > -7
x< 3,5
Her iki tarafı da negatif bir sayıya böldüğümüz için eşitsizliğin işareti değişti.
Böylece, ODZ'yi herhangi bir kare eşitsizliği, ayrımcı ve kesişme noktası olmadan bulduk. Şimdi geriye sadece bu aralıkta bulunan kökleri seçmek kalıyor. Açıktır ki, x = 5 > 3.5 olduğu için sadece x = −1 bize uyacaktır.
Cevabı yazabilirsiniz: x = 1, orijinal logaritmik denklemin tek çözümüdür.
Bu logaritmik denklemin sonuçları aşağıdaki gibidir:
- Logaritmaları çarpanlara ayırmaktan ve ardından logaritmaların toplamını çarpanlara ayırmaktan korkmayın. Ancak, çarpımı iki logaritmanın toplamına bölerek tanım alanını daralttığınızı unutmayın. Bu nedenle, böyle bir dönüştürme yapmadan önce kapsam gereksinimlerinin neler olduğunu kontrol ettiğinizden emin olun. Çoğu zaman, hiçbir sorun çıkmaz, ancak bir kez daha güvenli oynamaktan zarar gelmez.
- Kanonik formdan kurtulurken, hesaplamaları optimize etmeye çalışın. Özellikle, f > 0 ve g > 0 olması gerekiyorsa, ancak denklemin kendisinde f = g , o zaman kendimize yalnızca en basitini bırakarak eşitsizliklerden birini cesurca çizeriz. Bu durumda, tanım ve cevap alanı hiçbir şekilde zarar görmeyecek, ancak hesaplama miktarı önemli ölçüde azalacaktır.
Gruplandırma ile ilgili söylemek istediklerim bu kadar aslında. :)
Çözmedeki tipik hatalar
Bugün birçok öğrencinin tökezlediği iki tipik logaritmik denklemi analiz edeceğiz. Bu denklemler örneğinde, orijinal ifadeleri çözme ve dönüştürme sürecinde en sık hangi hataların yapıldığını göreceğiz.
Logaritmalarla kesirli-rasyonel denklemler
Bunun, paydanın bir yerinde logaritması olan bir kesrin her zaman hemen bulunmadığı oldukça sinsi bir denklem türü olduğu hemen belirtilmelidir. Ancak dönüşüm sürecinde mutlaka böyle bir fraksiyon ortaya çıkacaktır.
Aynı zamanda dikkatli olun: dönüşüm sürecinde, logaritmaların ilk tanım alanı önemli ölçüde değişebilir!
Kesirler ve değişken tabanlar içeren daha katı logaritmik denklemlere dönüyoruz. Kısa bir derste daha fazlasını yapmak için temel bir teori anlatmayacağım. Hemen görevlere geçelim:
4 günlük 25 (x - 1) - günlük 3 27 + 2 günlük x - 1 5 = 1
Bu denkleme bakan biri şöyle soracaktır: “Kesirli rasyonel denklemin bununla ne ilgisi var? Bu denklemde kesir nerede? Acele etmeyelim ve her terime daha yakından bakalım.
Birinci terim: 4 log 25 (x - 1). Logaritmanın tabanı bir sayıdır, ancak argüman x'in bir fonksiyonudur. Bu konuda henüz bir şey yapamıyoruz. Devam et.
Bir sonraki terim log 3 27'dir. 27 = 3 3 olduğunu hatırlayın. Bu nedenle, tüm logaritmayı aşağıdaki gibi yeniden yazabiliriz:
günlük 3 27 = 3 3 = 3
Yani ikinci terim sadece üç. Üçüncü terim: 2 log x − 1 5. Burada da her şey basit değildir: taban bir fonksiyondur, argüman sıradan bir sayıdır. Tüm logaritmayı aşağıdaki formüle göre çevirmeyi öneriyorum:
log a b = 1/log b a
Böyle bir dönüşüm ancak b ≠ 1 ise yapılabilir. Aksi takdirde ikinci kesrin paydasında elde edilecek logaritma basitçe mevcut olmayacaktır. Bizim durumumuzda, b = 5, yani her şey yolunda:
2 günlük x − 1 5 = 2/log 5 (x − 1)
Elde edilen dönüşümleri dikkate alarak orijinal denklemi yeniden yazalım:
4 günlük 25 (x - 1) - 3 + 2/ günlük 5 (x - 1) = 1
Kesrin paydasında log 5 (x − 1) ve birinci terimde log 25 (x − 1) var. Ancak 25 \u003d 5 2, bu nedenle kareyi logaritmanın tabanından kurala göre çıkarıyoruz:
Başka bir deyişle, logaritmanın tabanındaki üs öndeki kesir olur. Ve ifade şu şekilde yeniden yazılacaktır:
4 1/2 günlük 5 (x − 1) − 3 + 2/ günlük 5 (x − 1) − 1 = 0
Bir grup özdeş logaritma içeren uzun bir denklem elde ettik. Yeni bir değişken tanıtalım:
günlük 5 (x - 1) = t;
2t - 4 + 2/t = 0;
Ancak bu zaten 8-9. Sınıfların cebiri ile çözülen kesirli-rasyonel bir denklemdir. Öncelikle ikiye ayıralım:
t - 2 + 1/t = 0;
(t 2 - 2t + 1)/t = 0
Tam kare parantez içindedir. Yuvarlayalım:
(t - 1) 2 /t = 0
Payı sıfır ve paydası sıfır olmayan bir kesir sıfırdır. Şu gerçeği asla unutmayın:
(t - 1) 2 = 0
t=1
t ≠ 0
t'nin ne olduğunu hatırlayalım:
günlük 5 (x - 1) = 1
günlük 5 (x - 1) = günlük 5 5
Günlük işaretlerinden kurtuluruz, argümanlarını eşitleriz ve şunu elde ederiz:
x - 1 = 5 ⇒ x = 6
Herkes. Sorun çözüldü. Ama orijinal denkleme geri dönelim ve aynı anda x değişkeni ile iki logaritma olduğunu hatırlayalım. Bu nedenle, tanım alanını yazmanız gerekir. x − 1, logaritma bağımsız değişkeninde olduğundan, bu ifade sıfırdan büyük olmalıdır:
x - 1 > 0
Öte yandan, tabanda aynı x - 1 de vardır, bu nedenle birden farklı olmalıdır:
x - 1 ≠ 1
Dolayısıyla şu sonuca varıyoruz:
x > 1; x ≠ 2
Bu gereksinimler aynı anda karşılanmalıdır. x = 6 değeri her iki gereksinimi de karşılar, yani x = 6 logaritmik denklemin nihai çözümüdür.
İkinci göreve geçelim:
Yine acele etmeyelim ve her terime bakalım:
log 4 (x + 1) - tabanda bir dört var. Her zamanki numara ve ona dokunamazsınız. Ancak son kez, tabanda logaritma işaretinin altından çıkarılması gereken tam bir kareye rastladık. Şimdi aynısını yapalım:
günlük 4 (x + 1) = 1/2 günlük 2 (x + 1)
İşin püf noktası, tabanda da olsa x değişkenine sahip bir logaritmaya zaten sahip olmamızdır - az önce bulduğumuz logaritmanın tersidir:
8 günlük x + 1 2 = 8 (1/log 2 (x + 1)) = 8/log 2 (x + 1)
Bir sonraki terim log 2 8'dir. Hem bağımsız değişken hem de taban sıradan sayılar olduğundan bu bir sabittir. değerini bulalım:
günlük 2 8 = günlük 2 2 3 = 3
Aynısını son logaritma için de yapabiliriz:
Şimdi orijinal denklemi yeniden yazalım:
1/2 günlük 2 (x + 1) + 8/log 2 (x + 1) − 3 − 1 = 0;
günlük 2 (x + 1)/2 + 8/log 2 (x + 1) - 4 = 0
Her şeyi ortak bir paydada buluşturalım:
Önümüzde yine kesirli-rasyonel bir denklem var. Yeni bir değişken tanıtalım:
t = günlük 2 (x + 1)
Yeni değişkeni dikkate alarak denklemi yeniden yazalım:
Dikkatli olun: Bu adımda terimleri değiştirdim. Kesrin payı, farkın karesidir:
Geçen sefer olduğu gibi, payı sıfır ve paydası sıfır olmayan bir kesir sıfırdır:
(t − 4) 2 = 0 ⇒ t = 4;
t ≠ 0
Tüm gereksinimleri karşılayan bir kökümüz var, bu yüzden x değişkenine dönüyoruz:
günlük 2 (x + 1) = 4;
günlük 2 (x + 1) = günlük 2 2 4;
x + 1 = 16;
x=15
İşte bu, denklemi çözdük. Ancak orijinal denklemde birkaç logaritma olduğundan, tanım alanını yazmak gerekir.
Yani x + 1 ifadesi logaritmanın bağımsız değişkenindedir. Bu nedenle, x + 1 > 0. Öte yandan, x + 1 de tabanda bulunur, yani. x + 1 ≠ 1. Toplam:
0 ≠ x > -1
Bulunan kök bu gereksinimleri karşılıyor mu? şüphesiz. Bu nedenle, x = 15 orijinal logaritmik denklemin çözümüdür.
Son olarak şunu söylemek isterim: denkleme bakarsanız ve karmaşık ve standart olmayan bir şeyi çözmeniz gerektiğini anlarsanız, daha sonra başka bir değişkenle gösterilecek olan kararlı yapıları vurgulamaya çalışın. Bazı terimler x değişkenini hiç içermiyorsa, genellikle basitçe hesaplanabilirler.
Bugün hakkında konuşmak istediğim tek şey buydu. Umarım bu ders karmaşık logaritmik denklemleri çözmenize yardımcı olur. Diğer eğitim videolarını izleyin, bağımsız çalışmaları indirip çözün ve bir sonraki videoda görüşmek üzere!
Matematik bilimden daha fazlasıdır bilim dilidir.
Danimarkalı fizikçi ve halk figürü Niels Bohr
Logaritmik Denklemler
Tipik görevler arasında, giriş (rekabetçi) testlerinde sunulan, görevler, logaritmik denklemlerin çözümü ile ilgili. Bu tür problemleri başarılı bir şekilde çözmek için, logaritmaların özelliklerini iyi bilmek ve bunları uygulama becerisine sahip olmak gerekir.
Bu yazıda, öncelikle logaritmaların temel kavramlarını ve özelliklerini sunuyoruz., ve ardından logaritmik denklem çözme örnekleri ele alınır.
Temel kavramlar ve özellikler
Başlangıçta, logaritmaların ana özelliklerini sunuyoruz., kullanımı, nispeten karmaşık logaritmik denklemlerin başarılı bir şekilde çözülmesine izin verir.
Temel logaritmik kimlik şu şekilde yazılır:
, (1)
Logaritmaların en ünlü özellikleri aşağıdaki eşitlikleri içerir:
1. Eğer , , ve , ardından , ,
2. , , ve ise , o zaman .
3. , , ve ise , o zaman .
4. Eğer , , ve doğal sayı, o zamanlar
5. Eğer , , ve doğal sayı, o zamanlar
6. , , ve ise , o zaman .
7. , , ve ise , o zaman .
Logaritmaların daha karmaşık özellikleri aşağıdaki ifadelerle formüle edilir:
8. , , ve , ise
9. Eğer , , ve , o zaman
10. , , ve , ise
Logaritmanın son iki özelliğinin ispatı yazarın "Lise Öğrencileri için Matematik: Okul Matematiğinin Ek Bölümleri" (M.: Lenand / URSS) ders kitabında verilmiştir., 2014).
Şuna da dikkat edilmelidir o işlev artıyor, if ve azalan if .
Logaritmik denklemleri çözmek için problem örnekleri düşünün, artan karmaşıklık sırasına göre düzenlenmiştir.
Problem çözme örnekleri
örnek 1. denklemi çözün
. (2)
Karar. Denklem (2)'den elimizde . Denklemi şu şekilde dönüştürelim: , veya .
Çünkü , o zaman denklemin (2) kökü.
Cevap: .
Örnek 2. denklemi çözün
Karar. Denklem (3) denklemlere eşdeğerdir
Veya .
Buradan alıyoruz.
Cevap: .
Örnek 3. denklemi çözün
Karar. Denklem (4) ima eder, ne . Temel logaritmik kimliği kullanma (1), yazılabilir
veya .
koyarsak, o zaman buradan ikinci dereceden denklemi elde ederiz, hangisinin iki kökü vardır ve . Bununla birlikte ve denklemin uygun bir kökü sadece . O zamandan beri veya .
Cevap: .
Örnek 4. denklemi çözün
Karar.Bir değişkenin geçerli aralığıdenklemde (5).
izin ver ve . İşlevden beritanım alanında azalıyor ve işlev tüm sayı ekseninde artar, sonra denklem birden fazla kök olamaz.
Seçimle tek kökü buluruz.
Cevap: .
Örnek 5. denklemi çözün.
Karar. Denklemin her iki tarafı da 10 tabanına göre logaritma olarak alınırsa, o zaman
Veya .
için ikinci dereceden denklemi çözerek, ve elde ederiz. Bu nedenle, burada ve var.
Cevap: , .
Örnek 6. denklemi çözün
. (6)
Karar.Özdeşliği (1) kullanıyoruz ve denklemi (6) dönüştürüyoruz:
Veya .
Cevap: , .
Örnek 7. denklemi çözün
. (7)
Karar.Özellik 9'u hesaba katarsak, . Bu bağlamda, denklem (7) şu şekli alır:
Buradan veya elde ederiz.
Cevap: .
Örnek 8. denklemi çözün
. (8)
Karar.Özellik 9'u kullanalım ve denklemi (8) eşdeğer biçimde yeniden yazalım.
o zaman tayin edersek, sonra ikinci dereceden denklemi elde ederiz, nerede . Denklem olduğundansadece bir pozitif kökü vardır, ardından veya . Bu ima eder.
Cevap: .
Örnek 9. denklemi çözün
. (9)
Karar. Denklem (9)'dan takip ettiği için, sonra burada . Özelliğe göre 10, yazılabilir.
Bu bağlamda, denklem (9) aşağıdaki denklemlere eşdeğer olacaktır.
Veya .
Buradan denklemin (9) kökünü elde ederiz.
Örnek 10. denklemi çözün
. (10)
Karar. Denklem (10)'daki değişken için kabul edilebilir değer aralığı. Özellik 4'e göre, burada elimizde
. (11)
olduğundan, o zaman denklem (11) ikinci dereceden bir denklem şeklini alır, burada . İkinci dereceden denklemin kökleri ve .
O zamandan beri ve . Buradan ve .
Cevap: , .
Örnek 11. denklemi çözün
. (12)
Karar. belirtelim o zaman ve denklem (12) şu formu alır
Veya
. (13)
Denklemin (13) kökünün olduğunu görmek kolaydır. Bu denklemin başka kökü olmadığını gösterelim. Bunu yapmak için, her iki parçasını da böleriz ve eşdeğer bir denklem elde ederiz.
. (14)
Fonksiyon azalan ve fonksiyon tüm gerçek eksende artan olduğundan, denklem (14)'ün birden fazla kökü olamaz. Denklem (13) ve (14) eşdeğer olduğundan, denklem (13) tek bir köke sahiptir.
O zamandan beri ve .
Cevap: .
Örnek 12. denklemi çözün
. (15)
Karar. ve ile gösterelim. Fonksiyon, tanım alanında azaldığından ve herhangi bir değer için fonksiyon arttığından, denklemin bir Bode tek kökü olamaz. Doğrudan seçimle, istenen denklem kökünün (15) olduğunu tespit ederiz.
Cevap: .
Örnek 13. denklemi çözün
. (16)
Karar. Logaritmaların özelliklerini kullanarak şunu elde ederiz:
O zamandan beri ve eşitsizliğimiz var
Ortaya çıkan eşitsizlik, yalnızca veya ise denklem (16) ile çakışır.
Değer ikamesi(16) denkleminde şundan emin oluruz:, ne onun köküdür.
Cevap: .
Örnek 14. denklemi çözün
. (17)
Karar. Burada olduğundan, denklem (17) şeklini alır.
koyarsak buradan denklemi elde ederiz.
, (18)
nerede . Denklem (18) şu anlama gelir: veya . olduğundan, denklemin bir uygun kökü vardır. Bununla birlikte .
Örnek 15. denklemi çözün
. (19)
Karar. belirtir, ardından denklem (19) şeklini alır. Bu denklemin logaritmasını 3 tabanında alırsak, şunu elde ederiz:
Veya
Buradan şunu takip eder ve . O zamandan beri ve . Bu konuda ve
Cevap: , .
Örnek 16. denklemi çözün
. (20)
Karar. Parametreyi tanıtalımve denklemi (20) parametreye göre ikinci dereceden bir denklem olarak yeniden yazın, yani
. (21)
Denklemin (21) kökleri
veya , . Denklemlerimiz olduğundan ve . Buradan ve .
Cevap: , .
Örnek 17. denklemi çözün
. (22)
Karar. Denklem (22)'deki değişkenin tanım alanını oluşturmak için, üç eşitsizlik kümesini dikkate almak gerekir: , ve .
Özellik 2 uygulanıyor, denklemden (22) elde ederiz
Veya
. (23)
Eğer denklemde (23) koyarsak, o zaman denklemi elde ederiz
. (24)
Denklem (24) aşağıdaki gibi çözülecektir:
Veya
Buradan şu çıkar ki ve , yani, denklem (24)'ün iki kökü vardır: ve .
O zamandan beri , veya , .
Cevap: , .
Örnek 18. denklemi çözün
. (25)
Karar. Logaritmaların özelliklerini kullanarak, denklemi (25) aşağıdaki gibi dönüştürürüz:
, , .
Buradan alıyoruz.
Örnek 19. denklemi çözün
. (26)
Karar. O zamandan beri .
Sonra, elimizde . Sonuç olarak , eşitlik (26) yalnızca şu durumlarda sağlanır:, denklemin her iki tarafı da aynı anda 2'ye eşit olduğunda.
Böylece , denklem (26), denklem sistemine eşdeğerdir
Elde ettiğimiz sistemin ikinci denkleminden
Veya .
Görmesi kolay anlamı ne sistemin birinci denklemini de sağlar.
Cevap: .
Logaritmik denklemleri çözme yöntemlerine ilişkin daha derin bir çalışma için, önerilen literatür listesinden öğreticilere başvurabilirsiniz.
1. Kushnir A.I. Okul matematiğinin şaheserleri (iki kitaptaki problemler ve çözümler). – Kiev: Astarte, kitap 1, 1995. - 576 s.
2. Teknik üniversitelere başvuranlar için matematik problemlerinin toplanması / Ed. Mİ. Scanavi. - M.: Dünya ve Eğitim, 2013. - 608 s.
3. Suprun V.P. Lise öğrencileri için matematik: okul müfredatının ek bölümleri. – M.: Lenand / URSS, 2014. - 216 s.
4. Suprun V.P. Lise öğrencileri için matematik: artan karmaşıklıktaki görevler. - M: KD "Librocom" / URSS, 2017. - 200 s.
5. Suprun V.P. Lise öğrencileri için matematik: problem çözmek için standart olmayan yöntemler. - M: KD "Librocom" / URSS, 2017. - 296 s.
Sormak istediğiniz bir şey var mı?
Bir öğretmenin yardımını almak için - kayıt olun.
site, malzemenin tamamen veya kısmen kopyalanmasıyla, kaynağa bir bağlantı gereklidir.
Matematikte son teste hazırlık önemli bir bölüm içerir - "Logaritmalar". Bu konudaki görevler mutlaka sınavda yer almaktadır. Geçmiş yılların deneyimi, logaritmik denklemlerin birçok okul çocuğu için zorluklara neden olduğunu göstermektedir. Bu nedenle, farklı eğitim seviyelerine sahip öğrenciler, doğru cevabı nasıl bulacaklarını anlamalı ve bunlarla hızlı bir şekilde başa çıkmalıdır.
"Shkolkovo" eğitim portalının yardımıyla sertifika sınavını başarıyla geçin!
Lise mezunları, birleşik devlet sınavına hazırlanırken, test problemlerinin başarılı bir şekilde çözülmesi için en eksiksiz ve doğru bilgileri sağlayan güvenilir bir kaynağa ihtiyaç duyar. Bununla birlikte, ders kitabı her zaman elinizin altında değildir ve gerekli kuralları ve formülleri internette aramak genellikle zaman alır.
"Shkolkovo" eğitim portalı, istediğiniz zaman istediğiniz yerde sınava hazırlanmanıza olanak tanır. Sitemiz, bir ve birkaç bilinmeyenin yanı sıra logaritmalar hakkında büyük miktarda bilgiyi tekrarlamak ve hakim olmak için en uygun yaklaşımı sunar. Kolay denklemlerle başlayın. Onlarla zorlanmadan başa çıktıysanız, daha zor olanlara geçin. Belirli bir eşitsizliği çözmede sorun yaşıyorsanız, daha sonra geri dönebilmek için bunu Sık Kullanılanlar'a ekleyebilirsiniz.
"Teorik Referans" bölümüne bakarak, görevi tamamlamak, özel durumları tekrarlamak ve standart bir logaritmik denklemin kökünü hesaplamak için gerekli yöntemleri bulmak için gerekli formülleri bulabilirsiniz. "Shkolkovo" öğretmenleri, başarılı bir sunum için gerekli tüm materyalleri en basit ve anlaşılır biçimde topladı, sistematik hale getirdi ve sundu.
Herhangi bir karmaşıklıktaki görevlerle kolayca başa çıkabilmek için, portalımızda bazı tipik logaritmik denklemlerin çözümlerini öğrenebilirsiniz. Bunu yapmak için "Kataloglar" bölümüne gidin. Matematikte Birleşik Devlet Sınavının profil seviyesindeki denklemler de dahil olmak üzere çok sayıda örnek sunduk.
Rusya'nın her yerindeki okullardan öğrenciler portalımızı kullanabilir. Başlamak için sisteme kayıt olun ve denklemleri çözmeye başlayın. Sonuçları pekiştirmek için günlük olarak Shkolkovo web sitesine dönmenizi tavsiye ederiz.
Logaritmik denklemlerin çözümü. Bölüm 1.
logaritmik denklem bilinmeyenin logaritmanın işareti altında (özellikle logaritmanın tabanında) bulunduğu bir denklem denir.
protozoa logaritmik denklemşuna benziyor:
Herhangi bir logaritmik denklemi çözme logaritmalardan logaritmaların işareti altındaki ifadelere geçişi içerir. Bununla birlikte, bu eylem, denklemin geçerli değerlerinin aralığını genişletir ve yabancı köklerin ortaya çıkmasına neden olabilir. Yabancı köklerin ortaya çıkmasını önlemek için bunu üç yoldan biriyle yapabilirsiniz:
1. Eşdeğer bir geçiş yap orijinal denklemden aşağıdakileri içeren bir sisteme
hangi eşitsizliğe bağlı olarak veya daha kolay.
Denklem, logaritmanın tabanında bir bilinmeyen içeriyorsa:
sonra sisteme geçiyoruz:
2. Denklemin kabul edilebilir değer aralığını ayrı ayrı bulun, ardından denklemi çözün ve bulunan çözümlerin denklemi sağlayıp sağlamadığını kontrol edin.
3. Denklemi çözün ve ardından bir kontrol yap: bulunan çözümleri orijinal denklemde yerine koyun ve doğru eşitliği elde edip etmediğimizi kontrol edin.
Herhangi bir karmaşıklık seviyesindeki bir logaritmik denklem, her zaman sonunda en basit logaritmik denkleme indirgenir.
Tüm logaritmik denklemler dört türe ayrılabilir:
1 . Yalnızca birinci güce göre logaritma içeren denklemler. Dönüşümler ve kullanım sayesinde forma indirgenirler.
Örnek vermek. Denklemi çözelim:
Logaritmanın işareti altındaki ifadeleri eşitleyin:
Denklem kökümüzün sağlayıp sağlamadığını kontrol edelim:
Evet tatmin ediyor.
Cevap: x=5
2 . 1'den farklı bir güce sahip logaritmalar içeren denklemler (özellikle bir kesrin paydasında). Bu denklemler kullanılarak çözülür değişken değişikliğini tanıtma.
Örnek vermek. Denklemi çözelim:
ODZ denklemini bulalım:
Denklem logaritmaların karesini içerir, bu nedenle bir değişken değişikliği kullanılarak çözülür.
Önemli! Bir değiştirmeyi tanıtmadan önce, logaritmaların özelliklerini kullanarak denklemin parçası olan logaritmalarını "tuğlalara" "çekmeniz" gerekir.
Logaritma "çekerken", logaritma özelliklerini çok dikkatli bir şekilde uygulamak önemlidir:
Ayrıca burada ince bir yer daha var ve yaygın bir hataya düşmemek için ara bir eşitlik kullanacağız: logaritmanın derecesini şu şekilde yazıyoruz:
Aynı şekilde,
Elde edilen ifadeleri orijinal denklemde yerine koyuyoruz. Biz:
Şimdi bilinmeyenin bir parçası olarak denklemde yer aldığını görüyoruz. Değiştirmeyi tanıtıyoruz: . Herhangi bir gerçek değeri alabildiği için değişkene herhangi bir kısıtlama getirmeyiz.
Okuldaki matematik derslerinde çok sık dikkate alınmayan, ancak KULLANIM dahil olmak üzere rekabetçi görevlerin hazırlanmasında yaygın olarak kullanılan bazı logaritmik denklem türlerini ele alalım.
1. Logaritma yöntemiyle çözülen denklemler
Hem tabanda hem de üste değişken içeren denklemleri çözerken logaritma yöntemi kullanılır. Ek olarak, üs bir logaritma içeriyorsa, denklemin her iki tarafı da bu logaritmanın tabanına göre logaritılmalıdır.
örnek 1
Denklemi çözün: x log 2 x + 2 = 8.
Karar.
2 tabanındaki denklemin sağ ve sol taraflarının logaritmasını alıyoruz.
günlük 2 (x günlük 2 x + 2) = günlük 2 8,
(log 2 x + 2) log 2 x = 3.
log 2 x = t olsun.
O zaman (t + 2)t = 3.
t 2 + 2 t - 3 = 0.
D \u003d 16.t 1 \u003d 1; t 2 \u003d -3.
Yani günlük 2 x \u003d 1 ve x 1 \u003d 2 veya günlük 2 x \u003d -3 ve x 2 \u003d 1/8
Cevap: 1/8; 2.
2. Homojen logaritmik denklemler.
Örnek 2
Denklemi çözün log 2 3 (x 2 - 3x + 4) - 3log 3 (x + 5) log 3 (x 2 - 3x + 4) - 2log 2 3 (x + 5) = 0
Karar.
Denklem alanı
(x 2 - 3x + 4 > 0,
(x + 5 > 0. → x > -5.
x = -4 için günlük 3 (x + 5) = 0. Kontrol ederek, verilen x değerinin olmadığını belirleriz. 
orijinal denklemin köküdür. Bu nedenle, denklemin her iki tarafını da log 2 3 (x + 5) ile bölebiliriz.
log 2 3 (x 2 - 3x + 4) / log 2 3 (x + 5) - 3 log 3 (x 2 - 3x + 4) / log 3 (x + 5) + 2 = 0 elde ederiz.
log 3 (x 2 - 3x + 4) / log 3 (x + 5) = t olsun. O halde t 2 - 3 t + 2 = 0. Bu denklemin kökleri 1'dir; 2. Orijinal değişkene dönersek, iki denklem seti elde ederiz.
Ancak logaritmanın varlığı dikkate alındığında, yalnızca (0; 9] değerleri dikkate alınmalıdır, bu, sol taraftaki ifadenin x \u003d 1'de en büyük değeri 2 aldığı anlamına gelir. y \u003d 2 x-1 + 2 1-x işlevi t \u003d 2 x -1 alırsak, t > 0 olduğu y = t + 1/t şeklini alır. tek bir kritik noktası vardır t = 1. Bu minimum noktadır. Y vin = 2. Ve x = 1'de ulaşılır.
Ele alınan fonksiyonların grafiklerinin (1; 2) noktasında yalnızca bir kez kesişebileceği artık açıktır. X \u003d 1'in çözülmekte olan denklemin tek kökü olduğu ortaya çıktı.
Cevap: x = 1.
Örnek 5. Denklemi çözün log 2 2 x + (x - 1) log 2 x \u003d 6 - 2x
Karar.
Bu denklemi log 2 x için çözelim. log 2 x = t olsun. Sonra t 2 + (x - 1) t - 6 + 2x \u003d 0.
D \u003d (x - 1) 2 - 4 (2x - 6) \u003d (x - 5) 2. t 1 \u003d -2; t 2 \u003d 3 - x.
log 2 x \u003d -2 veya log 2 x \u003d 3 - x denklemini elde ederiz.
Birinci denklemin kökü x 1 = 1/4'tür. 
Log 2 x \u003d 3 - x denkleminin kökü seçimle bulunacaktır. Bu sayı 2'dir. Bu kök benzersizdir, çünkü y \u003d log 2 x işlevi tüm tanım alanı boyunca artar ve y \u003d 3 - x işlevi azalır.
Kontrol ederek, her iki sayının da denklemin kökleri olduğundan emin olmak kolaydır.
Cevap: 1/4; 2.
site, malzemenin tamamen veya kısmen kopyalanmasıyla, kaynağa bir bağlantı gereklidir.