Köklü logaritmik denklem çözme örnekleri. Logaritmik Denklemleri Çözme - Son Ders

Birçok öğrenci bu tür denklemlere takılıp kalıyor. Aynı zamanda, görevlerin kendileri hiçbir şekilde karmaşık değildir - yalnızca, kararlı ifadeleri nasıl izole edeceğinizi öğrenmeniz gereken yetkili bir değişken ikamesi gerçekleştirmek yeterlidir.

Bu derse ek olarak, her biri 6 görev içeren iki seçenekten oluşan oldukça hacimli bağımsız bir çalışma bulacaksınız.

Gruplandırma yöntemi

Bugün biri "baştan sona" çözülemeyen ve özel dönüşümler gerektiren iki logaritmik denklemi analiz edeceğiz ve ikincisi ... ancak her şeyi bir kerede anlatmayacağım. Videoyu izleyin, bağımsız çalışmayı indirin - ve karmaşık sorunları nasıl çözeceğinizi öğrenin.

Yani, gruplama ve ortak çarpanları parantezden çıkarmak. Ek olarak, size logaritma tanım alanının hangi tuzakları taşıdığını ve tanım alanı üzerindeki küçük açıklamaların hem kökleri hem de tüm çözümü nasıl önemli ölçüde değiştirebileceğini anlatacağım.

Gruplandırma ile başlayalım. Aşağıdaki logaritmik denklemi çözmemiz gerekiyor:

günlük 2 x günlük 2 (x − 3) + 1 = günlük 2 (x 2 − 3x )

Her şeyden önce, x 2 − 3x'in çarpanlara ayrılabileceğini not ediyoruz:

günlük 2 x (x - 3)

Sonra harika formülü hatırlıyoruz:

log a fg = log a f + log a g

Hemen küçük bir not: a, f ve g sıradan sayılar olduğunda bu formül iyi çalışır. Ancak onların yerine işlevler geldiğinde, bu ifadeler haklar bakımından eşit olmaktan çıkar. Bu varsayımsal durumu hayal edin:

f< 0; g < 0

Bu durumda fg çarpımı pozitif olacağından log a ( fg ) var olacak ama log a f ve log a g ayrı ayrı olmayacak ve böyle bir dönüşüm yapamayız.

Bu gerçeği göz ardı etmek, tanım alanının daralmasına ve sonuç olarak köklerin kaybolmasına yol açacaktır. Bu nedenle, böyle bir dönüşümü gerçekleştirmeden önce f ve g fonksiyonlarının pozitif olduğundan emin olmak gerekir.

Bizim durumumuzda her şey basit. Orijinal denklemde bir log 2 x fonksiyonu olduğundan, o zaman x > 0 (sonuçta, x değişkeni bağımsız değişkendedir). Ayrıca log 2 (x − 3) vardır, yani x − 3 > 0.

Bu nedenle log 2 x (x − 3) fonksiyonunda her faktör sıfırdan büyük olacaktır. Bu nedenle, ürünü güvenli bir şekilde toplama ayırabiliriz:

günlük 2 x günlük 2 (x - 3) + 1 = günlük 2 x + günlük 2 (x - 3)

günlük 2 x günlük 2 (x - 3) + 1 - günlük 2 x - günlük 2 (x - 3) = 0

İlk bakışta, kolaylaşmamış gibi görünebilir. Aksine: sadece terim sayısı arttı! Nasıl ilerleyeceğinizi anlamak için yeni değişkenler sunuyoruz:

günlük 2 x = bir

günlük 2 (x - 3) = b

bir b + 1 - bir - b = 0

Ve şimdi üçüncü terimi birinci terimle gruplandırıyoruz:

(a b - a) + (1 - b) = 0

bir (1 b - 1) + (1 - b ) = 0

Hem birinci hem de ikinci parantezin b - 1 içerdiğine dikkat edin (ikinci durumda, "eksi"yi parantezden çıkarmanız gerekir). Yapımızı çarpanlarına ayıralım:

bir (1 b - 1) - (b - 1) = 0

(b - 1)(bir 1 - 1) = 0

Ve şimdi harika kuralımızı hatırlayalım: çarpanlardan en az biri sıfıra eşit olduğunda çarpım sıfıra eşittir:

b - 1 = 0 ⇒ b = 1;

bir - 1 = 0 ⇒ bir = 1.

b ve a'nın ne olduğunu hatırlayalım. Geriye sadece log'un işaretlerinden kurtulmak ve argümanları eşitlemek olan iki basit logaritmik denklem elde ederiz:

günlük 2 x = 1 ⇒ günlük 2 x = günlük 2 2 ⇒ x 1 =2;

günlük 2 (x - 3) = 1 ⇒ günlük 2 (x - 3) = günlük 2 2 ⇒ x 2 = 5

İki kökümüz var ama bu orijinal logaritmik denklemin bir çözümü değil, sadece cevap adayları. Şimdi etki alanını kontrol edelim. İlk argüman için:

x > 0

Her iki kök de birinci gereksinimi karşılar. İkinci argümana geçelim:

x - 3 > 0 ⇒ x > 3

Ama burada zaten x=2 bizi tatmin etmiyor ama x=5 bize oldukça uyuyor. Bu nedenle, tek cevap x = 5'tir.

İkinci logaritmik denkleme geçiyoruz. İlk bakışta, çok daha basit. Bununla birlikte, çözme sürecinde, cehaleti acemi öğrencilerin hayatını önemli ölçüde zorlaştıran tanım alanıyla ilgili ince noktaları ele alacağız.

günlük 0,7 (x 2 - 6x + 2) = günlük 0,7 (7 - 2x)

Önümüzde logaritmik denklemin kanonik formu var. Hiçbir şeyi dönüştürmenize gerek yok - tabanlar bile aynı. Bu nedenle, argümanları basitçe eşitleriz:

x 2 - 6x + 2 = 7 - 2x

x 2 - 6x + 2 - 7 + 2x = 0

x 2 - 4x - 5 = 0

Önümüzde verilen ikinci dereceden denklem var, Vieta formülleri kullanılarak kolayca çözülüyor:

(x - 5) (x + 1) = 0;

x - 5 = 0 ⇒ x = 5;

x + 1 = 0 ⇒ x = -1.

Ancak bu kökler henüz kesin cevaplar değil. Orijinal denklemde iki logaritma olduğundan, tanım alanını bulmak gereklidir, yani. tanım alanını dikkate almak kesinlikle gereklidir.

Öyleyse tanım alanını yazalım. Bir yandan, birinci logaritmanın bağımsız değişkeni sıfırdan büyük olmalıdır:

x 2 - 6x + 2 > 0

Öte yandan, ikinci bağımsız değişken de sıfırdan büyük olmalıdır:

7 - 2x > 0

Bu gereksinimler aynı anda karşılanmalıdır. Ve burada en ilginç başlıyor. Tabii ki, bu eşitsizliklerin her birini çözebilir, sonra kesiştirebilir ve tüm denklemin alanını bulabiliriz. Ama neden hayatı kendin için bu kadar zorlaştırıyorsun?

Bir inceliği fark edelim. Günlük işaretlerinden kurtularak argümanları eşitleriz. Bu, x 2 − 6x + 2 > 0 ve 7 − 2x > 0 gereksinimlerinin eşdeğer olduğu anlamına gelir. Sonuç olarak, iki eşitsizlikten birinin üzeri çizilebilir. En zor olanı geçelim ve olağan doğrusal eşitsizliği kendimize bırakalım:

-2x > -7

x< 3,5

Her iki tarafı da negatif bir sayıya böldüğümüz için eşitsizliğin işareti değişti.

Böylece, ODZ'yi herhangi bir kare eşitsizliği, ayrımcı ve kesişme noktası olmadan bulduk. Şimdi geriye sadece bu aralıkta bulunan kökleri seçmek kalıyor. Açıktır ki, x = 5 > 3.5 olduğu için sadece x = −1 bize uyacaktır.

Cevabı yazabilirsiniz: x = 1, orijinal logaritmik denklemin tek çözümüdür.

Bu logaritmik denklemin sonuçları aşağıdaki gibidir:

1. Logaritmaları çarpanlara ayırmaktan ve ardından logaritmaların toplamını çarpanlara ayırmaktan korkmayın. Ancak, çarpımı iki logaritmanın toplamına bölerek tanım alanını daralttığınızı unutmayın. Bu nedenle, böyle bir dönüştürme yapmadan önce kapsam gereksinimlerinin neler olduğunu kontrol ettiğinizden emin olun. Çoğu zaman, hiçbir sorun çıkmaz, ancak bir kez daha güvenli oynamaktan zarar gelmez.
2. Kanonik formdan kurtulurken, hesaplamaları optimize etmeye çalışın. Özellikle, f > 0 ve g > 0 olması gerekiyorsa, ancak denklemin kendisinde f = g , o zaman kendimize yalnızca en basitini bırakarak eşitsizliklerden birini cesurca çizeriz. Bu durumda, tanım ve cevap alanı hiçbir şekilde zarar görmeyecek, ancak hesaplama miktarı önemli ölçüde azalacaktır.

Gruplandırma ile ilgili söylemek istediklerim bu kadar aslında. :)

Çözmedeki tipik hatalar

Bugün birçok öğrencinin tökezlediği iki tipik logaritmik denklemi analiz edeceğiz. Bu denklemler örneğinde, orijinal ifadeleri çözme ve dönüştürme sürecinde en sık hangi hataların yapıldığını göreceğiz.

Logaritmalarla kesirli-rasyonel denklemler

Bunun, paydanın bir yerinde logaritması olan bir kesrin her zaman hemen bulunmadığı oldukça sinsi bir denklem türü olduğu hemen belirtilmelidir. Ancak dönüşüm sürecinde mutlaka böyle bir fraksiyon ortaya çıkacaktır.

Aynı zamanda dikkatli olun: dönüşüm sürecinde, logaritmaların ilk tanım alanı önemli ölçüde değişebilir!

Kesirler ve değişken tabanlar içeren daha katı logaritmik denklemlere dönüyoruz. Kısa bir derste daha fazlasını yapmak için temel bir teori anlatmayacağım. Hemen görevlere geçelim:

4 günlük 25 (x - 1) - günlük 3 27 + 2 günlük x - 1 5 = 1

Bu denkleme bakan biri şöyle soracaktır: “Kesirli rasyonel denklemin bununla ne ilgisi var? Bu denklemde kesir nerede? Acele etmeyelim ve her terime daha yakından bakalım.

Birinci terim: 4 log 25 (x - 1). Logaritmanın tabanı bir sayıdır, ancak argüman x'in bir fonksiyonudur. Bu konuda henüz bir şey yapamıyoruz. Devam et.

Bir sonraki terim log 3 27'dir. 27 = 3 3 olduğunu hatırlayın. Bu nedenle, tüm logaritmayı aşağıdaki gibi yeniden yazabiliriz:

günlük 3 27 = 3 3 = 3

Yani ikinci terim sadece üç. Üçüncü terim: 2 log x − 1 5. Burada da her şey basit değildir: taban bir fonksiyondur, argüman sıradan bir sayıdır. Tüm logaritmayı aşağıdaki formüle göre çevirmeyi öneriyorum:

log a b = 1/log b a

Böyle bir dönüşüm ancak b ≠ 1 ise yapılabilir. Aksi takdirde ikinci kesrin paydasında elde edilecek logaritma basitçe mevcut olmayacaktır. Bizim durumumuzda, b = 5, yani her şey yolunda:

2 günlük x − 1 5 = 2/log 5 (x − 1)

Elde edilen dönüşümleri dikkate alarak orijinal denklemi yeniden yazalım:

4 günlük 25 (x - 1) - 3 + 2/ günlük 5 (x - 1) = 1

Kesrin paydasında log 5 (x − 1) ve birinci terimde log 25 (x − 1) var. Ancak 25 \u003d 5 2, bu nedenle kareyi logaritmanın tabanından kurala göre çıkarıyoruz:

Başka bir deyişle, logaritmanın tabanındaki üs öndeki kesir olur. Ve ifade şu şekilde yeniden yazılacaktır:

4 1/2 günlük 5 (x − 1) − 3 + 2/ günlük 5 (x − 1) − 1 = 0

Bir grup özdeş logaritma içeren uzun bir denklem elde ettik. Yeni bir değişken tanıtalım:

günlük 5 (x - 1) = t;

2t - 4 + 2/t = 0;

Ancak bu zaten 8-9. Sınıfların cebiri ile çözülen kesirli-rasyonel bir denklemdir. Öncelikle ikiye ayıralım:

t - 2 + 1/t = 0;

(t 2 - 2t + 1)/t = 0

Tam kare parantez içindedir. Yuvarlayalım:

(t - 1) 2 /t = 0

Payı sıfır ve paydası sıfır olmayan bir kesir sıfırdır. Şu gerçeği asla unutmayın:

(t - 1) 2 = 0

t=1

t ≠ 0

t'nin ne olduğunu hatırlayalım:

günlük 5 (x - 1) = 1

günlük 5 (x - 1) = günlük 5 5

Günlük işaretlerinden kurtuluruz, argümanlarını eşitleriz ve şunu elde ederiz:

x - 1 = 5 ⇒ x = 6

Herkes. Sorun çözüldü. Ama orijinal denkleme geri dönelim ve aynı anda x değişkeni ile iki logaritma olduğunu hatırlayalım. Bu nedenle, tanım alanını yazmanız gerekir. x − 1, logaritma bağımsız değişkeninde olduğundan, bu ifade sıfırdan büyük olmalıdır:

x - 1 > 0

Öte yandan, tabanda aynı x - 1 de vardır, bu nedenle birden farklı olmalıdır:

x - 1 ≠ 1

Dolayısıyla şu sonuca varıyoruz:

x > 1; x ≠ 2

Bu gereksinimler aynı anda karşılanmalıdır. x = 6 değeri her iki gereksinimi de karşılar, yani x = 6 logaritmik denklemin nihai çözümüdür.

İkinci göreve geçelim:

Yine acele etmeyelim ve her terime bakalım:

log 4 (x + 1) - tabanda bir dört var. Her zamanki numara ve ona dokunamazsınız. Ancak son kez, tabanda logaritma işaretinin altından çıkarılması gereken tam bir kareye rastladık. Şimdi aynısını yapalım:

günlük 4 (x + 1) = 1/2 günlük 2 (x + 1)

İşin püf noktası, tabanda da olsa x değişkenine sahip bir logaritmaya zaten sahip olmamızdır - az önce bulduğumuz logaritmanın tersidir:

8 günlük x + 1 2 = 8 (1/log 2 (x + 1)) = 8/log 2 (x + 1)

Bir sonraki terim log 2 8'dir. Hem bağımsız değişken hem de taban sıradan sayılar olduğundan bu bir sabittir. değerini bulalım:

günlük 2 8 = günlük 2 2 3 = 3

Aynısını son logaritma için de yapabiliriz:

Şimdi orijinal denklemi yeniden yazalım:

1/2 günlük 2 (x + 1) + 8/log 2 (x + 1) − 3 − 1 = 0;

günlük 2 (x + 1)/2 + 8/log 2 (x + 1) - 4 = 0

Her şeyi ortak bir paydada buluşturalım:

Önümüzde yine kesirli-rasyonel bir denklem var. Yeni bir değişken tanıtalım:

t = günlük 2 (x + 1)

Yeni değişkeni dikkate alarak denklemi yeniden yazalım:

Dikkatli olun: Bu adımda terimleri değiştirdim. Kesrin payı, farkın karesidir:

Geçen sefer olduğu gibi, payı sıfır ve paydası sıfır olmayan bir kesir sıfırdır:

(t − 4) 2 = 0 ⇒ t = 4;

t ≠ 0

Tüm gereksinimleri karşılayan bir kökümüz var, bu yüzden x değişkenine dönüyoruz:

günlük 2 (x + 1) = 4;

günlük 2 (x + 1) = günlük 2 2 4;

x + 1 = 16;

x=15

İşte bu, denklemi çözdük. Ancak orijinal denklemde birkaç logaritma olduğundan, tanım alanını yazmak gerekir.

Yani x + 1 ifadesi logaritmanın bağımsız değişkenindedir. Bu nedenle, x + 1 > 0. Öte yandan, x + 1 de tabanda bulunur, yani. x + 1 ≠ 1. Toplam:

0 ≠ x > -1

Bulunan kök bu gereksinimleri karşılıyor mu? şüphesiz. Bu nedenle, x = 15 orijinal logaritmik denklemin çözümüdür.

Son olarak şunu söylemek isterim: denkleme bakarsanız ve karmaşık ve standart olmayan bir şeyi çözmeniz gerektiğini anlarsanız, daha sonra başka bir değişkenle gösterilecek olan kararlı yapıları vurgulamaya çalışın. Bazı terimler x değişkenini hiç içermiyorsa, genellikle basitçe hesaplanabilirler.

Bugün hakkında konuşmak istediğim tek şey buydu. Umarım bu ders karmaşık logaritmik denklemleri çözmenize yardımcı olur. Diğer eğitim videolarını izleyin, bağımsız çalışmaları indirip çözün ve bir sonraki videoda görüşmek üzere!

Cebir 11. Sınıf

Konu: "Logaritmik denklemleri çözme yöntemleri"

Dersin Hedefleri:

eğitici: logaritmik denklemleri çözmenin farklı yolları hakkında bilgi oluşumu, bunları her bir özel durumda uygulama ve çözmek için herhangi bir yöntemi seçme becerisi;

geliştirme: gözlem yapma, karşılaştırma, bilgiyi yeni bir durumda uygulama, kalıpları belirleme, genelleme yapma becerilerinin geliştirilmesi; karşılıklı kontrol ve özdenetim becerilerinin oluşumu;

eğitici: eğitim çalışmasına karşı sorumlu bir tutum eğitimi, dersteki materyalin dikkatli bir şekilde algılanması, kayıt tutmanın doğruluğu.

ders türü: yeni malzeme ile tanışma dersi.

"Logaritmanın icadı, astronomun işini kısaltarak ömrünü uzatmıştır."
Fransız matematikçi ve astronom P.S. Laplace

dersler sırasında

I. Dersin amacını belirlemek

Logaritmanın çalışılan tanımı, logaritmaların özellikleri ve logaritmik fonksiyon, logaritmik denklemleri çözmemize izin verecektir. Ne kadar karmaşık olursa olsun, tüm logaritmik denklemler aynı algoritmalar kullanılarak çözülür. Bu algoritmaları bugün derste ele alacağız. Onlardan çok azı var. Bunlarda ustalaşırsanız, logaritmalı herhangi bir denklem her biriniz için uygun olacaktır.

Defterinize dersin konusunu yazın: "Logaritmik denklemleri çözme yöntemleri." Herkesi işbirliğine davet ediyorum.

II. Temel bilgilerin güncellenmesi

Ders konusunu incelemeye hazırlanalım. Her görevi çözüp cevabını yazıyorsunuz, koşul yazamıyorsunuz. Çiftler halinde çalışın.

1) Fonksiyon x'in hangi değerleri için anlamlıdır:

(Cevaplar her slayt için kontrol edilir ve hatalar sıralanır)

2) Fonksiyon grafikleri eşleşiyor mu?

3) Eşitlikleri logaritmik eşitlikler olarak yeniden yazın:

4) Sayıları 2 tabanlı logaritma olarak yazın:

5) Hesaplayın:

6) Bu eşitliklerdeki eksiklikleri gidermeye veya tamamlamaya çalışın.

III. Yeni malzemeye giriş

Açıklama ekranda gösterilir:

"Denklem, tüm matematiksel susamların kilidini açan altın anahtardır."
Modern Polonyalı matematikçi S. Koval

Logaritmik bir denklemin tanımını formüle etmeye çalışın. (Logaritmanın işareti altında bilinmeyeni içeren bir denklem).

Düşünmek en basit logaritmik denklem:kayıtax = b(burada a>0, a ≠ 1). Logaritmik fonksiyon pozitif sayılar kümesinde arttığından (veya azaldığından) ve tüm gerçek değerleri aldığından, kök teoreminden, herhangi bir b için bu denklemin ve ayrıca yalnızca bir ve pozitif bir çözümü olduğu sonucu çıkar.

Bir logaritmanın tanımını hatırlayın. (x sayısının a tabanına göre logaritması, x sayısını elde etmek için a tabanının yükseltilmesi gereken üsdür). Logaritmanın tanımından hemen şu çıkar: aiçinde böyle bir çözümdür.

Başlığı yazın: Logaritmik denklemleri çözme yöntemleri

1. Logaritmanın tanımı gereği.

Formun basit denklemleri bu şekilde çözülür.

Düşünmek 514(bir): Denklemi çözün

Nasıl çözmeyi öneriyorsun? (Logaritmanın tanımı gereği)

Karar. , Dolayısıyla 2x - 4 = 4; x = 4.

Bu görevde 2x - 4 > 0, çünkü > 0 olduğundan, yabancı kökler görünemez ve kontrol etmeye gerek yoktur. 2x - 4 > 0 koşulunun bu görevde yazılması gerekli değildir.

2. Güçlendirme(verilen ifadenin logaritmasından bu ifadenin kendisine geçiş).

Düşünmek 519(g): log5(x2+8)-log5(x+1)=3log5 2

Hangi özelliği fark ettiniz? (Tabanlar aynıdır ve iki ifadenin logaritmaları eşittir). Ne yapılabilir? (güçlendirmek).

Bu durumda, logaritma ifadeleri pozitif olan tüm x'ler arasında herhangi bir çözümün bulunduğu dikkate alınmalıdır.

Çözüm: ODZ:

X2+8>0 ekstra eşitsizliği

log5(x2+8) = log5 23+ log5(x+1)

log5(x2+8)=log5(8x+8)

Orijinal denklemi güçlendirin

x2+8= 8x+8 denklemini elde ederiz

Çözüyoruz: x2-8x=0

Cevap: 0; sekiz

Genel olarak eşdeğer bir sisteme geçiş:

Denklem

(Sistem gereksiz bir koşul içeriyor - eşitsizliklerden biri göz ardı edilebilir).

sınıfa soru: Bu üç çözümden en çok hangisini beğendiniz? (Yöntemlerin tartışılması).

Her şekilde karar verme hakkına sahipsiniz.

3. Yeni bir değişkenin tanıtılması.

Düşünmek 520(g). .

Ne fark ettin? (Bu, log3x için ikinci dereceden bir denklemdir) Herhangi bir öneriniz var mı? (Yeni değişken tanıtın)

Karar. ODZ: x > 0.

Let , o zaman denklem şu şekli alacaktır:. Diskriminant D > 0. Vieta teoremine göre kökler:.

Değiştirmeye geri dönelim: veya .

En basit logaritmik denklemleri çözerek şunu elde ederiz:

Cevap: 27;

4. Denklemin her iki tarafının logaritması.

Denklemi çözün:.

Çözüm: ODZ: x>0, 10 tabanında denklemin her iki tarafının logaritmasını alın:

Derecenin logaritmasının özelliğini uygulayın:

(lgx + 3) lgx = 4

lgx = y olsun, o zaman (y + 3)y = 4

, (D > 0) Vieta teoremine göre kökler: y1 = -4 ve y2 = 1.

Değiştirmeye geri dönelim, şunu elde ederiz: lgx = -4,; logx = 1, .

Cevap: 0.0001; 10.

5. Bir tabana indirgeme.

523(c). Denklemi çözün:

Çözüm: ODZ: x>0. 3. tabana geçelim.

6. İşlevsel-grafik yöntem.

№ 509(d). Denklemi grafiksel olarak çözün: = 3 - x.

Nasıl çözmeyi önerirsiniz? (Y \u003d log2x ve y \u003d 3 - x iki fonksiyonun grafiklerini noktalara göre oluşturun ve grafiklerin kesişme noktalarının apsisini arayın).

Çözümünüzü slaytta görün.

komplodan kaçınmanın bir yolu var mı . aşağıdaki gibidir : fonksiyonlardan biri ise y = f(x) artar ve diğer y = g(x) X aralığında azalır, sonra denklem f(x)=g(x) X aralığında en fazla bir kök vardır.

Bir kök varsa, o zaman tahmin edilebilir.

Bizim durumumuzda, x>0 için fonksiyon artar ve x>0 dahil x'in tüm değerleri için y \u003d 3 - x fonksiyonu azalır, bu da denklemin birden fazla kökü olmadığı anlamına gelir. x = 2 için denklemin gerçek bir eşitliğe dönüştüğüne dikkat edin, çünkü .

“Yöntemlerin doğru uygulanması öğrenilebilir,
sadece bunları çeşitli örneklere uygulayarak.
Danimarkalı matematik tarihçisi G. G. Zeiten

benÖdev

S. 39 Örnek 3'ü dikkate alın, No. 514 (b), No. 529 (b), No. 520 (b), No. 523 (b)'yi çözün

V. Dersi özetlemek

Derste logaritmik denklemleri çözmek için hangi yöntemleri ele aldık?

Sonraki derslerde daha karmaşık denklemlere bakacağız. Bunları çözmek için, incelenen yöntemler yararlıdır.

Son slayt gösteriliyor:

“Dünyadaki her şeyden daha fazla ne var?
Uzay.
En bilge nedir?
Zaman.
En keyiflisi nedir?
İstediğinizi elde edin."
Thales

Herkesin istediğini elde etmesini istiyorum. İşbirliğiniz ve anlayışınız için teşekkür ederiz.

Bildiğiniz gibi, ifadeleri kuvvetlerle çarparken üsleri her zaman toplanır (a b * a c = a b + c). Bu matematiksel yasa Arşimet tarafından türetildi ve daha sonra 8. yüzyılda matematikçi Virasen bir tamsayı göstergeleri tablosu oluşturdu. Logaritmaların daha fazla keşfedilmesine hizmet edenler onlardı. Bu işlevi kullanma örnekleri, hantal çarpmayı basit toplamaya basitleştirmenin gerekli olduğu hemen hemen her yerde bulunabilir. Bu makaleyi okumak için 10 dakika ayırırsanız, size logaritmanın ne olduğunu ve onlarla nasıl çalışılacağını açıklayacağız. Basit ve erişilebilir dil.

matematikte tanım

Logaritma aşağıdaki formun bir ifadesidir: log a b=c, yani negatif olmayan herhangi bir sayının (yani herhangi bir pozitif) logaritması "a" tabanına göre "b", "c'nin kuvveti olarak kabul edilir ", sonunda "b" değerini elde etmek için "a" tabanını yükseltmek gerekir. Logaritmayı örneklerle inceleyelim, log 2 8 ifadesi var diyelim. Cevabı nasıl bulacağız? Çok basit, öyle bir derece bulmanız gerekiyor ki 2'den gerekli dereceye kadar 8 elde ediyorsunuz. Kafanızda bazı hesaplamalar yaptıktan sonra 3 sayısını elde ediyoruz! Ve haklı olarak, çünkü 2 üzeri 3, cevapta 8 sayısını verir.

logaritma çeşitleri

Birçok öğrenci ve öğrenci için bu konu karmaşık ve anlaşılmaz görünüyor, ancak aslında logaritmalar o kadar korkutucu değil, asıl mesele genel anlamlarını anlamak ve özelliklerini ve bazı kurallarını hatırlamak. Üç farklı logaritmik ifade türü vardır:

1. Doğal logaritma ln a, burada taban Euler sayısıdır (e = 2.7).
2. Ondalık a, tabanı 10'dur.
3. Herhangi bir b sayısının a>1 tabanına göre logaritması.

Her biri, logaritmik teoremler kullanılarak basitleştirme, indirgeme ve müteakip bir logaritmaya indirgeme dahil olmak üzere standart bir şekilde çözülür. Doğru logaritma değerlerini elde etmek için, kararlarındaki özelliklerini ve eylem sırasını hatırlamak gerekir.

Kurallar ve bazı kısıtlamalar

Matematikte, aksiyom olarak kabul edilen, yani tartışmaya konu olmayan ve doğru olan birkaç kural-sınırlama vardır. Örneğin, sayıları sıfıra bölmek imkansız olduğu gibi, negatif sayılardan çift derecenin kökünü çıkarmak da imkansızdır. Logaritmaların ayrıca uzun ve geniş logaritmik ifadelerle bile nasıl çalışılacağını kolayca öğrenebileceğiniz kendi kuralları vardır:

• "a" tabanı her zaman sıfırdan büyük olmalı ve aynı zamanda 1'e eşit olmamalıdır, aksi takdirde ifade anlamını kaybeder, çünkü "1" ve "0" herhangi bir dereceye kadar her zaman değerlerine eşittir;
• a > 0 ise, a b > 0 ise, "c"nin sıfırdan büyük olması gerektiği ortaya çıkar.

Logaritmalar nasıl çözülür?

Örneğin, 10 x \u003d 100 denkleminin cevabını bulmak için görev verildi. Çok kolay, böyle bir güç seçmeniz gerekiyor, on sayısını 100'e yükseltiyoruz. Bu, elbette, 10'dur. 2 \u003d 100.

Şimdi bu ifadeyi logaritmik olarak gösterelim. Log 10 100 = 2 elde ederiz. Logaritma çözerken, tüm eylemler pratik olarak belirli bir sayıyı elde etmek için logaritma tabanının girilmesi gereken dereceyi bulmaya yakınsar.

Bilinmeyen bir derecenin değerini doğru bir şekilde belirlemek için derece tablosuyla nasıl çalışılacağını öğrenmelisiniz. Şuna benziyor:

Gördüğünüz gibi, teknik bir zihniyetiniz ve çarpım tablosu bilginiz varsa bazı üsler sezgisel olarak tahmin edilebilir. Ancak, daha büyük değerler bir güç tablosu gerektirecektir. Karmaşık matematiksel konularda hiçbir şey anlamayanlar tarafından bile kullanılabilir. Sol sütun sayıları içerir (a tabanı), sayıların üst satırı, a sayısının yükseltildiği c kuvvetinin değeridir. Hücrelerdeki kesişme noktasında cevap olan sayıların (a c=b) değerleri belirlenir. Örneğin 10 numaralı ilk hücreyi alıp karesini alalım, iki hücremizin kesiştiği noktada gösterilen 100 değerini elde ederiz. Her şey o kadar basit ve kolay ki en gerçek hümanist bile anlayacak!

denklemler ve eşitsizlikler

Belirli koşullar altında üssün logaritma olduğu ortaya çıktı. Bu nedenle, herhangi bir matematiksel sayısal ifade, logaritmik bir denklem olarak yazılabilir. Örneğin, 3 4 =81, 81'in dört olan 3 tabanına göre logaritması olarak yazılabilir (log 3 81 = 4). Negatif güçler için kurallar aynıdır: 2 -5 = 1/32 logaritma olarak yazarız, log 2 (1/32) = -5 elde ederiz. Matematiğin en büyüleyici bölümlerinden biri de "logaritmalar" konusudur. Özelliklerini inceledikten hemen sonra, denklemlerin örneklerini ve çözümlerini biraz daha aşağıda ele alacağız. Şimdi eşitsizliklerin neye benzediğine ve onları denklemlerden nasıl ayırt edeceğimize bakalım.

Aşağıdaki formun bir ifadesi verilir: log 2 (x-1) > 3 - bu, logaritmik bir eşitsizliktir, çünkü bilinmeyen "x" değeri logaritmanın işareti altındadır. Ve ayrıca ifadede iki miktar karşılaştırılır: iki tabanında istenen sayının logaritması üç sayısından büyüktür.

Logaritmik denklemler ile eşitsizlikler arasındaki en önemli fark, logaritma içeren denklemlerin (örneğin, 2 x = √9'un logaritması) cevapta bir veya daha fazla belirli sayısal değeri ima ederken, eşitsizliği çözerken hem aralığın hem de kabul edilebilir değerler ve bu işlevi bozan noktalar. Sonuç olarak, cevap, denklemin cevabında olduğu gibi basit bir bireysel sayılar kümesi değil, sürekli bir dizi veya sayılar kümesidir.

Logaritmalarla ilgili temel teoremler

Logaritmanın değerlerini bulma konusundaki ilkel görevleri çözerken, özellikleri bilinmeyebilir. Ancak logaritmik denklemler veya eşitsizlikler söz konusu olduğunda, öncelikle logaritmaların tüm temel özelliklerini net bir şekilde anlamak ve pratikte uygulamak gerekir. Daha sonra denklem örnekleriyle tanışacağız, önce her bir özelliği daha ayrıntılı olarak inceleyelim.

1. Temel kimlik şuna benzer: a logaB =B. Yalnızca a 0'dan büyükse, birden eşit değilse ve B sıfırdan büyükse geçerlidir.
2. Çarpımın logaritması aşağıdaki formülle gösterilebilir: log d (s 1 * s 2) = log d s 1 + log d s 2. Bu durumda ön koşul şudur: d, s 1 ve s 2 > 0; a≠1. Bu logaritma formülünün ispatını örneklerle ve çözümlü olarak verebilirsiniz. log a s 1 = f 1 ve log a s 2 = f 2 , sonra a f1 = s 1 , a f2 = s 2 olsun. s 1 *s 2 = a f1 *a f2 = a f1+f2 (derece özellikleri) ) ve ayrıca tanım gereği: log a (s 1 *s 2)= f 1 + f 2 = log a s1 + log as 2, ki bu kanıtlanacaktı.
3. Bölümün logaritması şöyle görünür: log a (s 1 / s 2) = log as 1 - log as 2.
4. Formül biçimindeki teorem şu biçimi alır: log a q b n = n/q log a b.

Bu formüle "logaritma derecesinin özelliği" denir. Sıradan derecelerin özelliklerini andırıyor ve bu şaşırtıcı değil, çünkü tüm matematik düzenli varsayımlara dayanıyor. Kanıta bakalım.

a b \u003d t günlüğüne izin verin, a t \u003d b çıkıyor. Her iki parçayı da m kuvvetine yükseltirseniz: a tn = b n ;

ancak a tn = (a q) nt/q = b n olduğundan, log a q b n = (n*t)/t olduğundan, log a q b n = n/q log a b olur. Teorem kanıtlanmıştır.

Problem ve eşitsizlik örnekleri

En yaygın logaritma problemi türleri, denklem ve eşitsizlik örnekleridir. Hemen hemen tüm problem kitaplarında bulunurlar ve ayrıca matematik sınavlarının zorunlu bölümünde yer alırlar. Bir üniversiteye girmek veya matematikte giriş sınavlarını geçmek için bu tür görevleri doğru bir şekilde nasıl çözeceğinizi bilmeniz gerekir.

Ne yazık ki, logaritmanın bilinmeyen değerini çözmek ve belirlemek için tek bir plan veya şema yoktur, ancak her matematiksel eşitsizliğe veya logaritmik denkleme belirli kurallar uygulanabilir. Her şeyden önce, ifadenin basitleştirilmesinin veya genel bir forma indirgenmesinin mümkün olup olmadığını öğrenmelisiniz. Özelliklerini doğru kullanırsanız, uzun logaritmik ifadeleri basitleştirebilirsiniz. Bir an önce onları tanıyalım.

Logaritmik denklemleri çözerken, önümüzde ne tür bir logaritma olduğunu belirlemek gerekir: bir ifade örneği, doğal bir logaritma veya ondalık bir sayı içerebilir.

İşte örnekler ln100, ln1026. Çözümleri, 10 tabanının sırasıyla 100 ve 1026'ya eşit olacağı dereceyi belirlemeniz gerektiği gerçeğine indirgenir. Doğal logaritmaların çözümleri için, logaritmik özdeşlikler veya bunların özellikleri uygulanmalıdır. Çeşitli türlerdeki logaritmik problemleri çözme örneklerine bakalım.

Logaritma Formülleri Nasıl Kullanılır: Örnekler ve Çözümlerle

Öyleyse, ana teoremleri logaritmalarda kullanma örneklerine bakalım.

1. Çarpımın logaritmasının özelliği, b sayısının büyük bir değerini daha basit faktörlere ayırmanın gerekli olduğu görevlerde kullanılabilir. Örneğin log 2 4 + log 2 128 = log 2 (4*128) = log 2 512. Cevap 9'dur.
2. log 4 8 = log 2 2 2 3 = 3/2 log 2 2 = 1.5 - görebileceğiniz gibi, logaritma derecesinin dördüncü özelliğini kullanarak karmaşık ve çözülemez bir ifadeyi ilk bakışta çözmeyi başardık. Sadece tabanı çarpanlara ayırmak ve ardından üs değerlerini logaritmanın işaretinden çıkarmak gerekir.

Sınavdaki görevler

Logaritmalara genellikle giriş sınavlarında, özellikle Birleşik Devlet Sınavında (tüm okul mezunları için devlet sınavı) birçok logaritmik problem bulunur. Genellikle bu görevler yalnızca A bölümünde (sınavın en kolay test bölümü) değil, aynı zamanda C bölümünde de (en zor ve hacimli görevler) bulunur. Sınav, "Doğal logaritmalar" konusunda doğru ve mükemmel bir bilgi anlamına gelir.

Örnekler ve problem çözme sınavın resmi versiyonlarından alınmıştır. Bu tür görevlerin nasıl çözüldüğünü görelim.

Verilen log 2 (2x-1) = 4. Çözüm:
ifadeyi biraz basitleştirerek yeniden yazalım log 2 (2x-1) = 2 2 , logaritmanın tanımından şunu elde ederiz 2x-1 = 2 4 , dolayısıyla 2x = 17; x = 8.5

• Çözümün hantal ve kafa karıştırıcı olmaması için tüm logaritmalar en iyi şekilde aynı tabana indirgenir.
• Logaritmanın işareti altındaki tüm ifadeler pozitif olarak gösterilir, bu nedenle ifadenin logaritmanın işareti altındaki üssünün üssünü ve tabanını çıkarırken, logaritmanın altında kalan ifadenin pozitif olması gerekir.

Dersin amacı: öğrencilerin bir sayının logaritması ve özellikleri hakkındaki bilgilerini tekrarlamak; logaritmik denklemleri nasıl çözeceğinizi öğrenin ve egzersiz yaparken bunları birleştirin.

Görevler:

Eğitsel: logaritmaların tanımını ve temel özelliklerini tekrarlamak, bunları logaritmaların hesaplanmasında, logaritmik denklemlerin çözümünde uygulayabilmek;

Geliştirme: logaritmik denklemleri çözme becerisini oluşturmak;

Eğitim: azim, bağımsızlık geliştirmek; konuya ilgi aşılamak

ders türü: yeni materyal öğrenme dersi.

Gerekli teknik ekipman:bilgisayar, projektör, perde.

Dersin yapısı ve seyri:

1. Organizasyon zamanı.

Öğretmen .

Merhaba, oturun! Bugün dersimizin konusu, logaritmaların tanımını ve özelliklerini kullanarak bunları çözmenin yollarını tanıyacağımız "Logaritmik denklemlerin çözümü" dür.(1 numaralı slayt)

1. sözlü çalışma

Logaritma kavramının pekiştirilmesi, temel özelliklerinin tekrarı ve logaritmik fonksiyonun özellikleri:

1. Teori ısınması:

1. Logaritmayı tanımlayın.(2 numaralı slayt)

2. Herhangi bir sayının logaritmasını bulmak mümkün müdür?

3. Logaritmanın tabanında hangi sayı olabilir?

4. Fonksiyon y=log 0.8 x artıyor mu azalıyor mu Neden?

5. Bir logaritmik fonksiyon hangi değerleri alabilir?

6. Hangi logaritmalara ondalık, doğal denir?

7. Logaritmaların temel özellikleri nelerdir?(3 numaralı slayt)

8. Logaritmanın bir tabanından diğerine geçmek mümkün mü? Nasıl yapılır?(4 numaralı slayt)

2. Kart üzerinde çalışın (3-4 öğrenci):

1 numaralı kart: Hesapla: a) günlük 6 4 + günlük 6 9 =

B) günlük 1/3 36 - günlük 1/3 12 =

Denklemi çöz: günlük 5 x \u003d 4 günlük 5 3 - 1/3 günlük 5 27

Kart #2:

Hesaplayın: a) log211 - log244 =

B) log1/64 + log1/69 =

Denklemi çöz: günlük 7 x \u003d 2 günlük 7 5 + 1/2 günlük 7 36 - 1/3 günlük 7 125.

Ön sınıf araştırması (sözlü egzersizler)

Hesapla: (5 numaralı slayt)

Numaraları karşılaştırın: (6 numaralı slayt)

1. log ½ e ve log ½ π;
2. günlük 2 √5/2 ve günlük 2 √3/2.

Bir ifadenin işaretini bulun günlük 0,8 3 günlük 6 2/3. (7 numaralı slayt)

1. Ödev kontrolü:

Eve şu alıştırmalar verildi: No. 327 (saat dışı), 331 (saat dışı), 333 (2) ve 390 (6). Bu görevlerin yanıtlarını kontrol edin ve öğrencilerin sorularını yanıtlayın.

1. Yeni materyal öğrenmek:

Tanım: Logaritmanın işareti altında bir değişken içeren bir denkleme logaritmik denklem denir.

Bir logaritmik denklemin en basit örneği, denklemdir.
kayıt a x \u003d c (a\u003e 0, a ≠ 1)
Logaritmik denklemleri çözmenin yolları:(8 numaralı slayt)

1. Logaritmanın tanımına dayalı denklemlerin çözümü.(9 numaralı slayt)

oturum aç x = c (a > 0, a≠ 1) x = a çözümüne sahiptir ile birlikte .

Logaritmanın tanımına bağlı olarak, denklemler şu şekilde çözülür:

• tabanlar ve sayı verildiğinde, logaritma belirlenir,
• Logaritma ve taban verildiğinde, bir sayı belirlenir
• taban, verilen sayı ve logaritma ile belirlenir.

Örnekler:

günlük 2 128= x, günlük 16 x = ¾, günlük x 27= 3,

2 x \u003d 128, x \u003d 16 ¾, x 3 \u003d 27,

2 x \u003d 2 7, x \u003d 2 3, x 3 \u003d 3 3,

x \u003d 7. x = 8. x = 3.

a) günlük 7 (3x-1)=2 (cevap: x=3 1/3)

b) günlük 2 (7-8x)=2 (cevap: x=3/8).

1. güçlendirme yöntemi.(10 numaralı slayt)

Kuvvetlendirme ile, logaritma içeren bir eşitlikten onları içermeyen bir eşitliğe geçiş kastedilmektedir, yani.

Günlük a f(x) = günlük a g(x), o zaman f(x)>0, g(x)>0, a>0, a≠ 1 olması koşuluyla f(x) = g(x).

Örnek vermek:

Denklemi çözün =

ODZ:

3x-1>0; x>1/3

6x+8>0.

3x-1=6x+8

3x=9

x=-3

3 >1/3 - yanlış

Cevap: Çözüm yok.

lg(x 2 -2) \u003d lg x (cevap: x \u003d 2)

1. Temel logaritmik özdeşlik uygulanarak çözülen denklemler.(11 numaralı slayt)

Örnek vermek:

Denklemi çözün= günlük 2 (6-x)

ODZ:

6-x>0;

x>0;

x≠1;

günlük 2 x 2 >0;

x2 >0.

Sistem çözümü: (0;1)Ụ (1;6).

Günlük 2 (6-x)

x 2 = 6 x

x 2 + x-6 = 0

x=-3, ODZ'ye ait değil.

x=2 ODZ'ye aittir.

Cevap: x=2

Sınıfla birlikte aşağıdaki denklemi çözün:

= (cevap: x=1)

1. Logaritmaları aynı tabana indirgeme yöntemi.(12 numaralı slayt)

Örnek vermek:

log denklemini çöz 16 x+ günlük 4 x+ günlük 2 x=7

ODZ: x>0

¼ günlük 2 x+½ günlük 2 x+ günlük 2 x=7

7/4 günlük 2 x=7

günlük 2 x=4

х=16 – ODZ'ye aittir.

Cevap: x=16.

Aşağıdaki denklemi sınıfla birlikte çözün:

3 (cevap: x=5/3)

1. Logaritmanın özellikleri uygulanarak çözülen denklemler.(13 numaralı slayt)

Örnek vermek:

log denklemini çöz 2 (x +1) - günlük 2 (x -2) = 2.

ODZ:

x+1>0;

x-2>0. x>1.

Bölümün logaritmasının logaritma farkını dönüştürmek için formülü kullanıyoruz, log alıyoruz 2 = 2, bundan sonra= 4.

Son denklemi çözerek x \u003d 3, 3\u003e 1 - doğru buluyoruz

Cevap: x = 3.

Aşağıdaki denklemleri sınıfta çözün:

a) günlük 5 (x + 1) + günlük 5 (x +5) = 1 (cevap: x=0).

b) günlük 9 (37-12x) günlük 7-2x 3 = 1,

37-12x >0, x

7-2x >0, x

7-2x≠ 1; x≠ 3; x≠ 3;

Günlük 9 (37-12x) / günlük 3 (7-2x) = 1,

½ günlük 3 (37-12x) = günlük 3 (7-2x),

Günlük 3 (37-12x) = günlük 3 (7-2x) 2,

37-12x \u003d 49 -28x + 4x 2,

4x 2 -16x +12 \u003d 0,

X 2 -4x +3 \u003d 0, D \u003d 19, x 1 \u003d 1, x 2 =3, 3 yabancı bir köktür.

Cevap: x=1 denklemin köküdür.

C) lg (x 2 -6x + 9) - 2lg (x - 7) = lg9.

(x 2 -6x + 9) > 0, x ≠ 3,

X-7 >0; x>7; x>7.

Lg ((x-3)/(x-7)) 2 = lg9

((x-3)/(x-7)) 2 = 9,

(x-3) / (x-7) \u003d 3, (x-3) / (x-7) \u003d - 3,

x-3 \u003d 3x -21, x -3 \u003d - 3x +21,

x=9. x=6 - yabancı kök.

Çek, denklemin 9 kökünü gösterir.

Cevap: 9

1. Denklemler yeni bir değişken tanıtılarak çözülür.(14 numaralı slayt)

Örnek vermek:

lg denklemini çöz 2 x - 6lgx + 5 \u003d 0.

ODZ: x>0.

lgx = p olsun, sonra p 2 -6p+5=0.

p 1 = 1, p 2 = 5.

Değiştirmeye geri dön:

lgх = 1, lgх =5

x=10, 10>0 – doğru x=100000, 100000>0 – doğru

Cevap: 10, 100000

Aşağıdaki denklemi sınıfla birlikte çözün:

Günlük 6 2 x + günlük 6 x +14 \u003d (√16 - x 2) 2 + x 2,

16 - x2 ≥0; - 4≤ x ≤ 4;

X>0, x>0, O.D.Z. [ 0.4).

Günlük 6 2 x + günlük 6 x +14 \u003d 16 - x 2 + x 2,

Günlük 6 2 x + günlük 6 x -2 = 0

Günlük 6 x = t'yi değiştir

T2 + t -2 \u003d 0; D=9; t 1 \u003d 1, t 2 \u003d -2.

Günlük 6 x = 1, x = 6 yabancı bir köktür.

Günlük 6 x=-2, x=1/36, kontrol 1/36'nın kök olduğunu gösterir.

Cevap: 1/36.

1. Faktoring ile Çözülen Denklemler.(15 numaralı slayt)

Örnek vermek:

log denklemini çöz 4 (2x-1) ∙ günlük 4 x \u003d 2 günlük 4 (2x-1)

ODZ:

2x-1>0;

X>0. x>½.

günlük 4 (2x-1)∙ günlük 4 x - 2 günlük 4 (2x-1)=0

log 4 (2x-1)∙(log 4 x-2)=0

günlük 4 (2x-1)=0 veya günlük 4 x-2=0

2x-1=1 log 4 x = 2

x=1 x=16

1;16 - ODZ'ye ait

Cevap: 1;16

Aşağıdaki denklemi sınıfla birlikte çözün:

log 3 x ∙log 3 (3x-2)= log 3 (3x-2) (cevap: x=1)

1. Denklemin her iki bölümünün logaritmasını alma yöntemi.(16 numaralı slayt)

Örnek vermek:

Denklemleri Çöz

3 tabanındaki denklemin her iki tarafının logaritmasını alın.

Günlük 3 = günlük 3 (3x) elde ederiz

şunu elde ederiz: günlük 3 x 2 günlük 3 x \u003d günlük 3 (3x),

2log 3 x log 3 x = log 3 3+ log 3 x,

2 günlük 3 2 x \u003d günlük 3 x +1,

2 log 3 2 x - log 3 x -1=0,

günlük 3'ü değiştir x = p, x > 0

2 p 2 + p -2 \u003d 0; D=9; p 1 \u003d 1, p 2 \u003d -1/2

Günlük 3 x = 1, x=3,

günlük 3 x \u003d -1 / 2, x \u003d 1 / √3.

Cevap: 3; 1/√3

Aşağıdaki denklemi sınıfla birlikte çözün:

Günlük 2 x - 1

x \u003d 64 (cevap: x \u003d 8; x \u003d 1/4)

1. İşlevsel - grafik yöntem.(17 numaralı slayt)

Örnek vermek:

Denklemleri çözme: günlük 3x = 12x.

y = log fonksiyonu olduğundan 3 x artıyor ve y \u003d 12 x işlevi (0; + ∞) üzerinde azalıyor, ardından bu aralıkta verilen denklemin bir kökü var.

Bir koordinat sisteminde iki fonksiyonun grafiğini oluşturalım: y = log 3x ve y = 12x.

x=10'da, verilen denklem doğru sayısal eşitlik olan 1=1'e dönüşür. Cevap x=10'dur.

Aşağıdaki denklemi sınıfla birlikte çözün:

1-√x \u003d ln x (cevap: x \u003d 1).

1. Özetle, yansıma (adamların ruh hallerini bir resimle işaretledikleri daireler dağıtın).(slayt numarası 18,19)

Denklemi çözme yöntemini belirleyin:

1. Ödev: 340(1), 393(1), 395(1.3), 1357(1.2), 337(1), 338(1), 339(1)

Edebiyat

1. Ryazanovsky, A.R. Matematik. 5 - 11. Sınıflar: Matematik dersi için ek materyaller / A.R. Ryazanovsky, E.A. Zaitsev. - 2. baskı, basmakalıp. - M.: Bustard, 2002
2. Matematik. "Bir Eylül" gazetesine ek. 1997. No.1, 10, 46, 48; 1998. Sayı 8, 16, 17, 20, 21, 47.
3. Skorkina, N.M. Standart dışı ders dışı çalışma biçimleri. Ortaokul ve lise için / N.M. Skorkin. - Volgograd: Öğretmen, 2004
4. Ziv, B.G., Goldich, V.A. 10./B.G.Ziv, V.A.Goldich. - 3. baskı, düzeltildi. - St.Petersburg: "CheRo-on-Neva", 2004
5. Cebir ve Analizin Başlangıcı: Teknik Okullar için Matematik / ed. GN Yakovleva.-M .: Nauka, 1987

Ön izleme:

Sunuların önizlemesini kullanmak için bir Google hesabı (hesabı) oluşturun ve oturum açın: https://accounts.google.com

Slayt altyazıları:

Logaritmik denklemleri çözme yöntemleri Matematik öğretmeni: Plotnikova T.V. MBOU "Suzdal 1 Nolu Ortaokul"

Tanım Pozitif bir b sayısının a tabanına göre logaritması, burada a>0, a≠1, öyle bir c üssüdür ki, b'yi elde etmek için yükseltmeniz gerekir.

Logaritmaların özellikleri log a 1 = 0 log a = 1 log a (x y)= log a x + log a y 3

Temel Transfer Formülleri 4

Hesapla: 5

Karşılaştır 6

7 Sayının işaretini belirleyin:

Logaritmik denklemleri çözmek için temel yöntemler

1. Logaritmanın tanımını kullanarak log 2 128= x log x 27= 3 Aşağıdaki denklemleri çözün: a) log 7 (3x-1)=2 b) log 2 (7-8x)=2 9

2. Güçlendirme yöntemi Aşağıdaki denklemi çözelim: lg (x 2 -2) = lg x 10 2

11 3. Temel Logaritmik Özdeşliği Uygulayarak Çözülen Denklemler Aşağıdaki denklemi çözelim: 1

12 4 . Logaritmaları aynı tabana indirgeme yöntemi log 16 x + log 4 x + log 2 x = 7 Aşağıdaki denklemi çözün:

13 5. Logaritmanın özellikleri uygulanarak çözülen denklemler log 2 (x +1) - log 2 (x -2) \u003d 2 Aşağıdaki denklemleri çözüyoruz: a) log 5 (x +1) + log 5 ( x +5) \u003d 1 b) günlük 9 (37-12x) günlük 7-2x 3 \u003d 1 c) lg (x 2 -6x + 9) - 2lg (x - 7) \u003d lg9 0 1 9

6. Yeni bir değişken getirerek çözülen denklemler l g 2 x - 6lgx +5 = 0 Aşağıdaki denklemleri çözeriz: log 6 2 x + log 6 x +14 = (√16 - x 2) 2 + x 2 14

15 7. Faktoring ile Çözülen Denklemler log 4 (2x-1)∙ log 4 x =2 log 4 (2x-1) Aşağıdaki denklemleri çözün: log 3 x ∙ log 3 (3x-2)= log 3 ( 3x-2) ) 1

8. Logaritma yöntemi Aşağıdaki denklemi çözelim: 16

9. İşlevsel olarak - grafik yöntem log 3 x = 12-x Aşağıdaki denklemi çözelim: 17 1

Denklemi çözmek için yöntemi belirleyin: Denklem: Başka bir tabana logaritma geçişini belirlemek için çözme yöntemi çarpanlara ayırma gücü yeni bir değişkenin başka bir tabana geçişinin tanıtılması logaritma logaritma grafiğinin özelliklerinin kullanımı 18

Evet! Ve bu logaritmik denklemleri kim buldu! Her şeyi yapabilirim!!! Birkaç örneğe daha mı ihtiyacınız var? Yansıma 19

Cebir 11. Sınıf

Konu: "Logaritmik denklemleri çözme yöntemleri"

Dersin Hedefleri:

eğitici: logaritmik denklemleri çözmenin farklı yolları hakkında bilgi oluşumu, bunları her özel durumda uygulama ve çözmek için herhangi bir yöntemi seçme becerisi;

gelişmekte olan: gözlem yapma, karşılaştırma, bilgiyi yeni bir durumda uygulama, kalıpları belirleme, genelleme yapma becerilerinin geliştirilmesi; karşılıklı kontrol ve özdenetim becerilerinin oluşumu;

eğitici: eğitim çalışmalarına karşı sorumlu bir tutum eğitimi, dersteki materyalin dikkatli algılanması, kayıt tutmanın doğruluğu.

ders türü : yeni malzeme ile tanışma dersi.

"Logaritmanın icadı, astronomun işini kısaltarak ömrünü uzatmıştır."
Fransız matematikçi ve astronom P.S. Laplace

dersler sırasında

I. Dersin amacını belirlemek

Logaritmanın çalışılan tanımı, logaritmaların özellikleri ve logaritmik fonksiyon, logaritmik denklemleri çözmemize izin verecektir. Ne kadar karmaşık olursa olsun, tüm logaritmik denklemler aynı algoritmalar kullanılarak çözülür. Bu algoritmaları bugün derste ele alacağız. Onlardan çok azı var. Bunlarda ustalaşırsanız, logaritmalı herhangi bir denklem her biriniz için uygun olacaktır.

Defterinize dersin konusunu yazın: "Logaritmik denklemleri çözme yöntemleri." Herkesi işbirliğine davet ediyorum.

II. Temel bilgilerin güncellenmesi

Ders konusunu incelemeye hazırlanalım. Her görevi çözüp cevabını yazıyorsunuz, koşul yazamıyorsunuz. Çiftler halinde çalışın.

1) Fonksiyon x'in hangi değerleri için anlamlıdır:

a)

b)

içinde)

e)

(Cevaplar her slayt için kontrol edilir ve hatalar sıralanır)

2) Fonksiyon grafikleri eşleşiyor mu?

a) y = x ve

b)ve

3) Eşitlikleri logaritmik eşitlikler olarak yeniden yazın:

4) Sayıları 2 tabanlı logaritma olarak yazın:

4 =

2 =

0,5 =

1 =

5) Hesapla :

6) Bu eşitliklerdeki eksik unsurları geri kazanmaya veya tamamlamaya çalışın.

III. Yeni malzemeye giriş

Açıklama ekranda gösterilir:

"Denklem, tüm matematiksel susamların kilidini açan altın anahtardır."
Modern Polonyalı matematikçi S. Koval

Logaritmik bir denklemin tanımını formüle etmeye çalışın. (Logaritmanın işareti altında bilinmeyen içeren bir denklem ).

Düşünmeken basit logaritmik denklem: kayıt a x = b (burada a>0, a ≠ 1). Logaritmik fonksiyon pozitif sayılar kümesinde arttığından (veya azaldığından) ve tüm gerçek değerleri aldığından, kök teoreminden, herhangi bir b için bu denklemin ve ayrıca yalnızca bir ve pozitif bir çözümü olduğu sonucu çıkar.

Bir logaritmanın tanımını hatırlayın. (x sayısının a tabanına göre logaritması, x sayısını elde etmek için a tabanının yükseltilmesi gereken üs ). Logaritmanın tanımından hemen şu çıkar:a içinde böyle bir çözümdür.

Başlığı yazın:Logaritmik denklemleri çözme yöntemleri

1. Logaritmanın tanımı gereği .

Formun en basit denklemleri bu şekilde.

Düşünmek514(bir ): Denklemi çözün

Nasıl çözmeyi öneriyorsun? (Logaritmanın tanımı gereği )

Karar . , Dolayısıyla 2x - 4 = 4; x = 4.

Cevap: 4.

Bu görevde 2x - 4 > 0, çünkü> 0, böylece yabancı kökler görünemez vedoğrulama gerekli değil . Bu görevde 2x - 4 > 0 koşulunun yazılması gerekli değildir.

2. Güçlendirme (verilen ifadenin logaritmasından bu ifadenin kendisine geçiş).

Düşünmek519(g): kayıt 5 ( x 2 +8)- kayıt 5 ( x+1)=3 kayıt 5 2

Hangi özelliği fark ettiniz?(Tabanlar aynıdır ve iki ifadenin logaritmaları eşittir) . Ne yapılabilir?(güçlendirmek).

Bu durumda, logaritma ifadeleri pozitif olan tüm x'ler arasında herhangi bir çözümün bulunduğu dikkate alınmalıdır.

Karar: ODZ:

X 2 +8>0 ekstra eşitsizlik

kayıt 5 ( x 2 +8) = kayıt 5 2 3 + kayıt 5 ( x+1)

kayıt 5 ( x 2 +8)= kayıt 5 (8 x+8)

Orijinal denklemi güçlendirin

x 2 +8= 8 x+8

denklemi elde ederizx 2 +8= 8 x+8

Hadi çözelim:x 2 -8 x=0

x=0, x=8

Cevap: 0; sekiz

Genel olarakeşdeğer bir sisteme geçiş :

Denklem

(Sistem gereksiz bir koşul içeriyor - eşitsizliklerden biri göz ardı edilebilir).

sınıfa soru : Bu üç çözümden en çok hangisini beğendiniz? (Yöntemlerin tartışılması).

Her şekilde karar verme hakkına sahipsiniz.

3. Yeni bir değişkenin tanıtılması .

Düşünmek520(g) . .

Ne fark ettin? (Bu, log3x için ikinci dereceden bir denklemdir) Sizin önerileriniz? (Yeni değişken tanıtın)

Karar . ODZ: x > 0.

İzin vermek, o zaman denklem şu şekli alacaktır:. Diskriminant D > 0. Vieta teoremine göre kökler:.

Değiştirmeye geri dön:veya.

En basit logaritmik denklemleri çözerek şunu elde ederiz:

; .

Cevap : 27;

4. Denklemin her iki tarafının logaritması.

Denklemi çözün:.

Karar : ODZ: x>0, denklemin her iki tarafının logaritmasını 10 tabanında alıyoruz:

. Derecenin logaritmasının özelliğini uygulayın:

(lgx + 3) lgx =

(lgx + 3) lgx = 4

lgx = y olsun, o zaman (y + 3)y = 4

, (D > 0) Vieta teoremine göre kökler: y1 = -4 ve y2 = 1.

Yer değiştirmeye geri dönelim, şunu elde ederiz: lgx = -4,; logx = 1,. . aşağıdaki gibidir: fonksiyonlardan biri ise y = f(x) artar ve diğer y = g(x) X aralığında azalır, sonra denklem f(x)=g(x) X aralığında en fazla bir kök vardır .

Bir kök varsa, o zaman tahmin edilebilir. .

Cevap : 2

“Yöntemlerin doğru uygulanması öğrenilebilir,
sadece bunları çeşitli örneklere uygulayarak.
Danimarkalı matematik tarihçisi G. G. Zeiten

ben Ödev

S. 39 Örnek 3'ü dikkate alın, No. 514 (b), No. 529 (b), No. 520 (b), No. 523 (b)'yi çözün

V. Dersi özetlemek

Derste logaritmik denklemleri çözmek için hangi yöntemleri ele aldık?

Sonraki derslerde daha karmaşık denklemlere bakacağız. Bunları çözmek için, incelenen yöntemler yararlıdır.

Son slayt gösteriliyor:

“Dünyadaki her şeyden daha fazla ne var?
Uzay.
En bilge nedir?
Zaman.
En keyiflisi nedir?
İstediğinizi elde edin."
Thales

Herkesin istediğini elde etmesini istiyorum. İşbirliğiniz ve anlayışınız için teşekkür ederiz.