Rozwiązywanie równań za pomocą logarytmów znajdź przykłady pierwiastków. Równanie logarytmiczne: podstawowe wzory i techniki
Wielu uczniów utknęło na tego rodzaju równaniach. Jednocześnie same zadania nie są bynajmniej skomplikowane - wystarczy wykonać kompetentne podstawienie zmiennej, dla którego warto nauczyć się izolować wyrażenia stabilne.
Oprócz tej lekcji znajdziesz dość obszerną niezależną pracę, składającą się z dwóch opcji z 6 zadaniami każda.
Metoda grupowania
Dzisiaj przeanalizujemy dwa równania logarytmiczne, z których jednego nie da się rozwiązać „na wskroś” i wymaga specjalnych przekształceń, a drugiego… nie powiem jednak wszystkiego od razu. Obejrzyj wideo, pobierz niezależną pracę - i naucz się rozwiązywać złożone problemy.
A więc grupowanie i wyjmowanie wspólnych czynników z nawiasu. Dodatkowo powiem, jakie pułapki niesie ze sobą dziedzina definicji logarytmów i jak drobne uwagi w dziedzinie definicji mogą znacząco zmienić zarówno pierwiastki, jak i całe rozwiązanie.
Zacznijmy od grupowania. Musimy rozwiązać następujące równanie logarytmiczne:
log 2 x log 2 (x − 3) + 1 = log 2 (x 2 − 3x )
Przede wszystkim zauważamy, że x 2 − 3x można rozłożyć na czynniki:
log 2 x (x − 3)
Następnie przypominamy sobie cudowną formułę:
log a fg = log a f + log a g
Od razu mała uwaga: ta formuła działa dobrze, gdy a, f i g są zwykłymi liczbami. Ale kiedy zamiast nich są funkcje, wyrażenia te przestają być równe w prawach. Wyobraź sobie taką hipotetyczną sytuację:
f< 0; g < 0
W tym przypadku iloczyn fg będzie dodatni, więc log a ( fg ) będzie istniał, ale log a f i log a g nie będą istnieć oddzielnie i nie możemy wykonać takiego przekształcenia.
Ignorowanie tego faktu doprowadzi do zawężenia zakresu definicji, aw efekcie do utraty korzeni. Dlatego przed wykonaniem takiej transformacji należy wcześniej upewnić się, że funkcje f i g są dodatnie.
W naszym przypadku wszystko jest proste. Skoro w pierwotnym równaniu jest log funkcji 2 x, to x > 0 (w końcu zmienna x jest w argumencie). Istnieje również log 2 (x − 3), więc x − 3 > 0.
Dlatego w logu funkcji 2 x (x − 3) każdy czynnik będzie większy od zera. Dlatego możemy bezpiecznie rozłożyć iloczyn na sumę:
log 2 x log 2 (x − 3) + 1 = log 2 x + log 2 (x − 3)
log 2 x log 2 (x − 3) + 1 − log 2 x − log 2 (x − 3) = 0
Na pierwszy rzut oka może się wydawać, że wcale nie stało się to łatwiejsze. Wręcz przeciwnie: liczba terminów tylko wzrosła! Aby zrozumieć, jak postępować dalej, wprowadzamy nowe zmienne:
log 2 x = a
log 2 (x − 3) = b
za b + 1 - za - b = 0
A teraz grupujemy trzeci wyraz z pierwszym:
(a b - a) + (1 - b) = 0
za (1 b - 1) + (1 - b ) = 0
Zauważ, że zarówno pierwszy, jak i drugi nawias zawierają b − 1 (w drugim przypadku będziesz musiał usunąć „minus” z nawiasu). Rozłóżmy naszą konstrukcję na czynniki:
za (1 b - 1) - (b - 1) = 0
(b-1)(a1-1) = 0
A teraz przypominamy sobie naszą cudowną zasadę: iloczyn jest równy zeru, gdy przynajmniej jeden z czynników jest równy zeru:
b − 1 = 0 ⇒ b = 1;
za − 1 = 0 ⇒ za = 1.
Przypomnijmy sobie, czym są b i a. Otrzymujemy dwa proste równania logarytmiczne, w których pozostaje tylko pozbyć się znaków logarytmu i zrównać argumenty:
log 2 x = 1 ⇒ log 2 x = log 2 2 ⇒ x 1 = 2;
log 2 (x − 3) = 1 ⇒ log 2 (x − 3) = log 2 2 ⇒ x 2 = 5
Mamy dwa pierwiastki, ale to nie jest rozwiązanie pierwotnego równania logarytmicznego, a jedynie kandydaci na odpowiedź. Teraz sprawdźmy domenę. Dla pierwszego argumentu:
x > 0
Oba pierwiastki spełniają pierwszy warunek. Przejdźmy do drugiego argumentu:
x − 3 > 0 ⇒ x > 3
Ale tutaj już x = 2 nas nie satysfakcjonuje, ale x = 5 całkiem nam odpowiada. Dlatego jedyną odpowiedzią jest x = 5.
Przechodzimy do drugiego równania logarytmicznego. Na pierwszy rzut oka jest to znacznie prostsze. Jednak w procesie jego rozwiązywania rozważymy subtelne punkty związane z dziedziną definicji, której nieznajomość znacznie komplikuje życie początkującym studentom.
log 0,7 (x 2 - 6x + 2) = log 0,7 (7 - 2x)
Przed nami kanoniczna postać równania logarytmicznego. Nie musisz niczego konwertować - nawet podstawy są takie same. Dlatego po prostu zrównujemy argumenty:
x 2 - 6x + 2 = 7 - 2x
x 2 - 6x + 2 - 7 + 2x = 0
x 2 - 4x - 5 = 0
Przed nami podane równanie kwadratowe, które można łatwo rozwiązać za pomocą wzorów Vieta:
(x − 5) (x + 1) = 0;
x − 5 = 0 ⇒ x = 5;
x + 1 = 0 ⇒ x = −1.
Ale te korzenie nie są jeszcze ostatecznymi odpowiedziami. Konieczne jest znalezienie dziedziny definicji, ponieważ w pierwotnym równaniu są dwa logarytmy, tj. bezwzględnie konieczne jest uwzględnienie dziedziny definicji.
Wypiszmy więc dziedzinę definicji. Z jednej strony argument pierwszego logarytmu musi być większy od zera:
x 2 − 6x + 2 > 0
Z drugiej strony drugi argument również musi być większy od zera:
7 − 2x > 0
Wymagania te muszą być spełnione jednocześnie. I tu zaczyna się najciekawsze. Oczywiście możemy rozwiązać każdą z tych nierówności, następnie przeciąć je i znaleźć dziedzinę całego równania. Ale po co sobie tak utrudniać życie?
Zwróćmy uwagę na jedną subtelność. Pozbywając się znaków dziennika, zrównujemy argumenty. Oznacza to, że wymagania x 2 − 6x + 2 > 0 i 7 − 2x > 0 są równoważne. W konsekwencji każdą z dwóch nierówności można przekreślić. Skreślmy najtrudniejsze i zostawmy sobie zwykłą nierówność liniową:
-2x > -7
x< 3,5
Ponieważ dzieliliśmy obie strony przez liczbę ujemną, zmienił się znak nierówności.
Tak więc znaleźliśmy ODZ bez żadnych nierówności kwadratowych, wyróżników i przecięć. Teraz pozostaje tylko wybrać pierwiastki leżące na tym przedziale. Oczywiście tylko x = −1 będzie nam odpowiadać, bo x = 5 > 3,5.
Możesz zapisać odpowiedź: x = 1 jest jedynym rozwiązaniem oryginalnego równania logarytmicznego.
Wnioski z tego równania logarytmicznego są następujące:
- Nie bój się rozłożyć logarytmów na czynniki, a następnie rozłożyć na czynniki sumę logarytmów. Pamiętaj jednak, że dzieląc iloczyn na sumę dwóch logarytmów, zawężasz w ten sposób dziedzinę definicji. Dlatego przed wykonaniem takiej konwersji koniecznie sprawdź, jaki jest zakres wymagań. Najczęściej nie pojawiają się żadne problemy, ale nie zaszkodzi jeszcze raz rozegrać to bezpiecznie.
- Pozbywając się formy kanonicznej, spróbuj zoptymalizować obliczenia. W szczególności, jeśli wymaga się od nas, aby f > 0 i g > 0, ale w samym równaniu f = g , to śmiało skreślamy jedną z nierówności, zostawiając sobie tylko najprostszą. W takim przypadku dziedzina definicji i odpowiedzi w żaden sposób nie ucierpi, ale ilość obliczeń zostanie znacznie zmniejszona.
Właściwie to wszystko, co chciałem powiedzieć o zgrupowaniu. :)
Typowe błędy w rozwiązywaniu
Dzisiaj przeanalizujemy dwa typowe równania logarytmiczne, na które potyka się wielu uczniów. Na przykładzie tych równań zobaczymy, jakie błędy najczęściej popełniane są w procesie rozwiązywania i przekształcania oryginalnych wyrażeń.
Równania ułamkowo-wymierne z logarytmami
Należy od razu zauważyć, że jest to dość podstępny typ równania, w którym ułamek z logarytmem gdzieś w mianowniku nie zawsze jest natychmiast obecny. Jednak w procesie przemian taki ułamek koniecznie powstanie.
Jednocześnie bądź ostrożny: w procesie transformacji początkowa dziedzina definicji logarytmów może się znacznie zmienić!
Przechodzimy do jeszcze bardziej sztywnych równań logarytmicznych zawierających ułamki i zmienne podstawy. Aby zrobić więcej w jednej krótkiej lekcji, nie będę opowiadał elementarnej teorii. Przejdźmy od razu do zadań:
4 log 25 (x − 1) − log 3 27 + 2 log x − 1 5 = 1
Patrząc na to równanie, ktoś zapyta: „Co ma z tym wspólnego ułamkowe równanie wymierne? Gdzie jest ułamek w tym równaniu? Nie spieszmy się i przyjrzyjmy się bliżej każdemu terminowi.
Pierwszy wyraz: 4 log 25 (x - 1). Podstawą logarytmu jest liczba, ale argumentem jest funkcja x . Nie możemy jeszcze nic z tym zrobić. Pójść dalej.
Następny wyraz to log 3 27. Przypomnijmy, że 27 = 3 3 . Dlatego możemy przepisać cały logarytm w następujący sposób:
log 3 27 = 3 3 = 3
Więc drugi termin to tylko trzy. Trzeci wyraz: 2 log x − 1 5. Tu też nie wszystko jest proste: podstawą jest funkcja, argumentem jest zwykła liczba. Proponuję odwrócić cały logarytm według następującego wzoru:
log a b = 1/log b a
Takie przekształcenie można wykonać tylko wtedy, gdy b ≠ 1. W przeciwnym razie logarytm, który zostanie uzyskany w mianowniku drugiego ułamka, po prostu nie będzie istniał. W naszym przypadku b = 5, więc wszystko jest w porządku:
2 log x − 1 5 = 2/log 5 (x − 1)
Przepiszmy pierwotne równanie uwzględniając otrzymane przekształcenia:
4 log 25 (x − 1) − 3 + 2 / log 5 (x − 1) = 1
Mamy log 5 (x − 1) w mianowniku ułamka i log 25 (x − 1) w pierwszym wyrazie. Ale 25 \u003d 5 2, więc wyjmujemy kwadrat z podstawy logarytmu zgodnie z zasadą:
Innymi słowy, wykładnik u podstawy logarytmu staje się ułamkiem na początku. A wyrażenie zostanie przepisane w ten sposób:
4 1/2 log 5 (x − 1) − 3 + 2/log 5 (x − 1) − 1 = 0
Skończyło się na długim równaniu z wieloma identycznymi logarytmami. Wprowadźmy nową zmienną:
log 5 (x − 1) = t;
2t − 4 + 2/t = 0;
Ale to już jest równanie ułamkowo-racjonalne, które rozwiązuje się za pomocą algebry stopni 8-9. Najpierw podzielmy to na dwa:
t - 2 + 1/t = 0;
(t 2 − 2 t + 1)/t = 0
Dokładny kwadrat jest w nawiasach. Zwińmy to:
(t − 1) 2 /t = 0
Ułamek jest równy zero, gdy jego licznik jest równy zero, a mianownik jest różny od zera. Nigdy nie zapominaj o tym fakcie:
(t − 1) 2 = 0
t=1
t ≠ 0
Przypomnijmy, co to jest t:
log 5 (x − 1) = 1
log 5 (x − 1) = log 5 5
Pozbywamy się znaków dziennika, zrównujemy ich argumenty i otrzymujemy:
x − 1 = 5 ⇒ x = 6
Wszyscy. Problem rozwiązany. Ale wróćmy do pierwotnego równania i pamiętajmy, że były dwa logarytmy ze zmienną x naraz. Dlatego musisz wypisać dziedzinę definicji. Ponieważ x − 1 jest argumentem logarytmicznym, to wyrażenie musi być większe od zera:
x-1 > 0
Z drugiej strony ten sam x − 1 występuje również w bazie, więc musi być różny od jedynki:
x − 1 ≠ 1
Stąd wnioskujemy:
x > 1; x ≠ 2
Wymagania te muszą być spełnione jednocześnie. Wartość x = 6 spełnia oba wymagania, więc x = 6 jest ostatecznym rozwiązaniem równania logarytmicznego.
Przejdźmy do drugiego zadania:
Ponownie, nie spieszmy się i spójrzmy na każdy termin:
log 4 (x + 1) - u podstawy jest czwórka. Zwykły numer i nie możesz go dotknąć. Ale ostatnim razem natknęliśmy się na dokładny kwadrat u podstawy, który trzeba było wyjąć spod znaku logarytmu. Zróbmy to samo teraz:
log 4 (x + 1) = 1/2 log 2 (x + 1)
Sztuczka polega na tym, że mamy już logarytm ze zmienną x , aczkolwiek w bazie - jest to odwrotność logarytmu, który właśnie znaleźliśmy:
8 log x + 1 2 = 8 (1/log 2 (x + 1)) = 8/log 2 (x + 1)
Następnym wyrazem jest log 2 8. Jest to stała, ponieważ zarówno argument, jak i podstawa są zwykłymi liczbami. Znajdźmy wartość:
log 2 8 = log 2 2 3 = 3
To samo możemy zrobić z ostatnim logarytmem:
Przekształćmy teraz pierwotne równanie:
1/2 log 2 (x + 1) + 8/log 2 (x + 1) - 3 - 1 = 0;
log 2 (x + 1)/2 + 8/log 2 (x + 1) − 4 = 0
Sprowadźmy wszystko do wspólnego mianownika:
Przed nami znowu ułamkowo-racjonalne równanie. Wprowadźmy nową zmienną:
t = log 2 (x + 1)
Przepiszmy równanie uwzględniając nową zmienną:
Uważaj: na tym etapie zamieniłem warunki. Licznik ułamka to kwadrat różnicy:
Tak jak ostatnio, ułamek jest równy zero, gdy jego licznik jest równy zero, a mianownik jest różny od zera:
(t − 4) 2 = 0 ⇒ t = 4;
t ≠ 0
Mamy jeden pierwiastek, który spełnia wszystkie wymagania, więc wracamy do zmiennej x:
log 2 (x + 1) = 4;
log 2 (x + 1) = log 2 2 4;
x + 1 = 16;
x=15
To wszystko, rozwiązaliśmy równanie. Ale ponieważ w pierwotnym równaniu było kilka logarytmów, konieczne jest wypisanie dziedziny definicji.
Zatem wyrażenie x + 1 jest argumentem logarytmu. Zatem x + 1 > 0. Z drugiej strony x + 1 występuje również w bazie, tj. x + 1 ≠ 1. Suma:
0 ≠ x > −1
Czy znaleziony korzeń spełnia te wymagania? Niewątpliwie. Dlatego x = 15 jest rozwiązaniem pierwotnego równania logarytmicznego.
Na koniec chciałbym powiedzieć, co następuje: jeśli spojrzysz na równanie i zrozumiesz, że musisz rozwiązać coś złożonego i niestandardowego, spróbuj wyróżnić stabilne struktury, które później zostaną oznaczone inną zmienną. Jeśli niektóre terminy w ogóle nie zawierają zmiennej x, często można je po prostu obliczyć.
To wszystko, o czym chciałem dzisiaj porozmawiać. Mam nadzieję, że ta lekcja pomoże ci w rozwiązywaniu złożonych równań logarytmicznych. Obejrzyj inne samouczki wideo, pobierz i rozwiąż samodzielną pracę i do zobaczenia w następnym filmie!
Matematyka to coś więcej niż nauka jest językiem nauki.
Duński fizyk i osoba publiczna Niels Bohr
Równania logarytmiczne
Wśród typowych zadań, oferowane na testach wstępnych (konkursowych)., są zadaniami, związane z rozwiązywaniem równań logarytmicznych. Aby skutecznie rozwiązywać takie problemy, konieczna jest dobra znajomość własności logarytmów oraz umiejętność ich stosowania.
W tym artykule najpierw przedstawimy podstawowe pojęcia i właściwości logarytmów, a następnie rozważane są przykłady rozwiązywania równań logarytmicznych.
Podstawowe pojęcia i właściwości
Na początek przedstawimy główne własności logarytmów, którego użycie pozwala z powodzeniem rozwiązywać stosunkowo złożone równania logarytmiczne.
Podstawowa tożsamość logarytmiczna jest zapisana jako
, (1)
Do najbardziej znanych własności logarytmów należą następujące równości:
1. Jeśli , , i , to , ,
2. Jeśli , , , i , to .
3. Jeśli , , i , to .
4. Jeżeli , , i Liczba naturalna, następnie
5. Jeżeli , , i Liczba naturalna, następnie
6. Jeśli , , i , to .
7. Jeśli , , i , to .
Bardziej złożone właściwości logarytmów są formułowane za pomocą następujących stwierdzeń:
8. Jeżeli , , , i , to
9. Jeśli , , i , to
10. Jeżeli , , , i , to
Dowód dwóch ostatnich własności logarytmów podany jest w autorskim podręczniku „Matematyka dla uczniów szkół średnich: dodatkowe sekcje matematyki szkolnej” (M.: Lenand / URSS, 2014).
Należy to również zauważyć ta funkcja wzrasta, jeśli , i malejące, jeśli .
Rozważ przykłady problemów rozwiązywania równań logarytmicznych, uporządkowane według rosnącej złożoności.
Przykłady rozwiązywania problemów
Przykład 1. Rozwiązać równanie
. (2)
Decyzja. Z równania (2) mamy . Przekształćmy równanie w następujący sposób: , lub .
Dlatego , wtedy pierwiastek równania (2) wynosi.
Odpowiadać: .
Przykład 2. Rozwiązać równanie
Decyzja. Równanie (3) jest równoważne równaniom
Lub .
Stąd dostajemy.
Odpowiadać: .
Przykład 3. Rozwiązać równanie
Decyzja. Równanie (4) implikuje, Co . Korzystanie z podstawowej tożsamości logarytmicznej (1), można napisać
lub .
Jeśli umieścimy, stąd otrzymujemy równanie kwadratowe, który ma dwa korzenie oraz . Jednak dlatego i odpowiedni pierwiastek równania jest tylko . Od , wtedy lub .
Odpowiadać: .
Przykład 4. Rozwiązać równanie
Decyzja.Prawidłowy zakres zmiennejw równaniu (5) są.
Niech i . Od funkcjiw dziedzinie definicji maleje i funkcja rośnie na całej osi liczbowej, następnie równanie nie może mieć więcej niż jednego korzenia.
Poprzez wybór znajdujemy jedyny korzeń.
Odpowiadać: .
Przykład 5. Rozwiązać równanie.
Decyzja. Jeśli obie strony równania są traktowane jako logarytmy o podstawie 10, to
Lub .
Rozwiązując równanie kwadratowe dla , otrzymujemy i . Dlatego tutaj mamy i .
Odpowiadać: , .
Przykład 6. Rozwiązać równanie
. (6)
Decyzja.Korzystamy z tożsamości (1) i przekształcamy równanie (6) w następujący sposób:
Lub .
Odpowiadać: , .
Przykład 7. Rozwiązać równanie
. (7)
Decyzja. Biorąc pod uwagę właściwość 9, mamy . W związku z tym równanie (7) przyjmuje postać
Stąd dostajemy lub .
Odpowiadać: .
Przykład 8. Rozwiązać równanie
. (8)
Decyzja.Skorzystajmy z własności 9 i przepiszmy równanie (8) w równoważnej postaci.
Jeśli następnie wyznaczymy, wtedy otrzymamy równanie kwadratowe, gdzie . Od równaniama tylko jeden dodatni pierwiastek, wtedy lub . To implikuje.
Odpowiadać: .
Przykład 9. Rozwiązać równanie
. (9)
Decyzja. Ponieważ wynika to z równania (9), potem tutaj . Zgodnie z właściwością 10, można zapisać.
Pod tym względem równanie (9) będzie równoważne równaniom
Lub .
Stąd otrzymujemy pierwiastek równania (9).
Przykład 10. Rozwiązać równanie
. (10)
Decyzja. Zakres dopuszczalnych wartości dla zmiennej w równaniu (10) wynosi . Zgodnie z właściwością 4, tutaj mamy
. (11)
Skoro , to równanie (11) przyjmuje postać równania kwadratowego , gdzie . Korzenie równania kwadratowego to i .
Od , wtedy i . Stąd dostajemy i .
Odpowiadać: , .
Przykład 11. Rozwiązać równanie
. (12)
Decyzja. Oznaczmy zatem a równanie (12) przyjmuje postać
Lub
. (13)
Łatwo zauważyć, że pierwiastek równania (13) wynosi . Pokażmy, że to równanie nie ma innych pierwiastków. Aby to zrobić, dzielimy obie jego części przez i otrzymujemy równoważne równanie
. (14)
Ponieważ funkcja jest malejąca, a funkcja rośnie na całej osi rzeczywistej, równanie (14) nie może mieć więcej niż jednego pierwiastka. Ponieważ równania (13) i (14) są równoważne, równanie (13) ma jeden pierwiastek.
Od , wtedy i .
Odpowiadać: .
Przykład 12. Rozwiązać równanie
. (15)
Decyzja. Oznaczmy i . Ponieważ funkcja jest malejąca w dziedzinie definicji, a funkcja rośnie dla dowolnych wartości , to równanie nie może mieć pojedynczego pierwiastka Bodego. Poprzez bezpośredni wybór ustalamy, że pożądanym pierwiastkiem równania (15) jest .
Odpowiadać: .
Przykład 13. Rozwiązać równanie
. (16)
Decyzja. Korzystając z właściwości logarytmów, otrzymujemy
Od tego czasu i mamy nierówność
Otrzymana nierówność pokrywa się z równaniem (16) tylko wtedy, gdy lub .
Zastąpienie wartoścido równania (16) upewniamy się, że, Co jest jego korzeniem.
Odpowiadać: .
Przykład 14. Rozwiązać równanie
. (17)
Decyzja. Skoro tutaj , to równanie (17) przyjmuje postać .
Jeśli umieścimy , to stąd otrzymamy równanie
, (18)
gdzie . Równanie (18) implikuje: lub . Skoro , to równanie ma jeden odpowiedni pierwiastek. Jednak dlatego.
Przykład 15. Rozwiązać równanie
. (19)
Decyzja. Oznaczmy , wtedy równanie (19) przybierze postać . Jeśli weźmiemy logarytm tego równania o podstawie 3, otrzymamy
Lub
Wynika z tego, że i . Od , wtedy i . W tym zakresie i
Odpowiadać: , .
Przykład 16. Rozwiązać równanie
. (20)
Decyzja. Wprowadźmy parametri przepisz równanie (20) jako równanie kwadratowe w odniesieniu do parametru, tj.
. (21)
Pierwiastki równania (21) to
lub , . Ponieważ , Mamy równania i . Stąd dostajemy i .
Odpowiadać: , .
Przykład 17. Rozwiązać równanie
. (22)
Decyzja. Aby ustalić dziedzinę definicji zmiennej w równaniu (22), należy rozważyć zbiór trzech nierówności: , oraz .
Zastosowanie właściwości 2, z równania (22) otrzymujemy
Lub
. (23)
Jeśli w równaniu (23) wstawimy, wtedy otrzymamy równanie
. (24)
Równanie (24) zostanie rozwiązane w następujący sposób:
Lub
Wynika stąd, że i , tj. równanie (24) ma dwa pierwiastki: i .
Ponieważ , więc , lub , .
Odpowiadać: , .
Przykład 18. Rozwiązać równanie
. (25)
Decyzja. Korzystając z własności logarytmów, przekształcamy równanie (25) w następujący sposób:
, , .
Stąd dostajemy.
Przykład 19. Rozwiązać równanie
. (26)
Decyzja. Od , więc .
Dalej mamy. W konsekwencji , równość (26) jest spełniona tylko wtedy, gdy, gdy obie strony równania są równe 2 w tym samym czasie.
Zatem , równanie (26) jest równoważne układowi równań
Z drugiego równania układu otrzymujemy
Lub .
Łatwo to zobaczyć jakie jest znaczenie spełnia również pierwsze równanie układu.
Odpowiadać: .
Aby dokładniej przestudiować metody rozwiązywania równań logarytmicznych, możesz skorzystać z samouczków z listy zalecanej literatury.
1. Kushnir AI Arcydzieła matematyki szkolnej (problemy i rozwiązania w dwóch książkach). – Kijów: Astarte, księga 1, 1995. - 576 s.
2. Zbiór problemów z matematyki dla kandydatów na uczelnie techniczne / wyd. MI. Scanavi. - M.: Świat i edukacja, 2013. - 608 s.
3. Suprun wiceprezes Matematyka dla uczniów szkół ponadgimnazjalnych: dodatkowe działy programu nauczania w szkole. – M.: Lenand / URSS, 2014. - 216 s.
4. Suprun V.P. Matematyka dla licealistów: zadania o zwiększonej złożoności. - M.: KD „Librocom” / URSS, 2017. - 200 s.
5. Suprun wiceprezes Matematyka dla licealistów: niestandardowe metody rozwiązywania problemów. - M.: KD „Librocom” / URSS, 2017. - 296 s.
Czy masz jakieś pytania?
Aby skorzystać z pomocy korepetytora - zarejestruj się.
strona, z pełnym lub częściowym kopiowaniem materiału, wymagany jest link do źródła.
Przygotowanie do matury z matematyki obejmuje ważny dział - „Logarytmy”. Zadania z tego tematu są koniecznie zawarte na egzaminie. Doświadczenia ostatnich lat pokazują, że równania logarytmiczne sprawiały trudności wielu uczniom. Dlatego uczniowie o różnych poziomach szkolenia powinni wiedzieć, jak znaleźć właściwą odpowiedź i szybko sobie z nią poradzić.
Pomyślnie zdaj egzamin certyfikacyjny z pomocą portalu edukacyjnego „Szkolkowo”!
Przygotowując się do ujednoliconego egzaminu państwowego, maturzyści potrzebują wiarygodnego źródła, które dostarcza najbardziej kompletnych i dokładnych informacji w celu pomyślnego rozwiązania problemów testowych. Jednak podręcznik nie zawsze jest pod ręką, a poszukiwanie potrzebnych reguł i wzorów w Internecie często zajmuje dużo czasu.
Portal edukacyjny „Szkolkowo” pozwala przygotować się do egzaminu w dowolnym miejscu i czasie. Nasza strona oferuje najwygodniejsze podejście do powtarzania i opanowania dużej ilości informacji o logarytmach, a także o jednej i kilku niewiadomych. Zacznij od prostych równań. Jeśli poradziłeś sobie z nimi bez trudności, przejdź do trudniejszych. Jeśli masz problem z rozwiązaniem określonej nierówności, możesz dodać ją do Ulubionych, aby wrócić do niej później.
Możesz znaleźć niezbędne wzory do wykonania zadania, powtórzyć specjalne przypadki i metody obliczania pierwiastka standardowego równania logarytmicznego, przeglądając sekcję „Odniesienia teoretyczne”. Nauczyciele „Szkołkowo” zebrali, usystematyzowali i przedstawili wszystkie materiały niezbędne do udanej realizacji w najprostszej i zrozumiałej formie.
Aby łatwo poradzić sobie z zadaniami o dowolnej złożoności, na naszym portalu możesz zapoznać się z rozwiązaniem niektórych typowych równań logarytmicznych. Aby to zrobić, przejdź do sekcji „Katalogi”. Przedstawiliśmy dużą liczbę przykładów, w tym z równaniami poziomu profilowego Jednolitego Egzaminu Państwowego z matematyki.
Z naszego portalu mogą korzystać uczniowie szkół z całej Rosji. Aby rozpocząć, po prostu zarejestruj się w systemie i zacznij rozwiązywać równania. Aby skonsolidować wyniki, radzimy codziennie powracać na stronę Shkolkovo.
Rozwiązywanie równań logarytmicznych. Część 1.
Równanie logarytmiczne zwane równaniem, w którym niewiadoma jest zawarta pod znakiem logarytmu (w szczególności w podstawie logarytmu).
pierwotniaki równanie logarytmiczne wygląda jak:
Rozwiązywanie dowolnego równania logarytmicznego polega na przejściu od logarytmów do wyrażeń pod znakiem logarytmów. Jednak ta akcja rozszerza zakres prawidłowych wartości równania i może prowadzić do pojawienia się obcych korzeni. Aby uniknąć pojawienia się obcych korzeni możesz to zrobić na jeden z trzech sposobów:
1. Wykonaj równoważne przejście od pierwotnego równania do układu zawierającego
w zależności od tego, która nierówność lub łatwiej.
Jeśli równanie zawiera niewiadomą u podstawy logarytmu:
następnie przechodzimy do systemu:
2. Oddzielnie znajdź zakres dopuszczalnych wartości równania, a następnie rozwiąż równanie i sprawdź, czy znalezione rozwiązania spełniają równanie.
3. Rozwiąż równanie, a następnie sprawdź: podstawiamy znalezione rozwiązania do pierwotnego równania i sprawdzamy, czy otrzymamy poprawną równość.
Równanie logarytmiczne o dowolnym poziomie złożoności zawsze ostatecznie sprowadza się do najprostszego równania logarytmicznego.
Wszystkie równania logarytmiczne można podzielić na cztery typy:
1 . Równania zawierające logarytmy tylko do pierwszej potęgi. Za pomocą przekształceń i użytkowania sprowadza się je do formy
Przykład. Rozwiążmy równanie:
Zrównaj wyrażenia pod znakiem logarytmu:
Sprawdźmy, czy nasz pierwiastek równania spełnia:
Tak, to zadowala.
Odpowiedź: x=5
2 . Równania zawierające logarytmy do potęgi innej niż 1 (w szczególności w mianowniku ułamka). Te równania są rozwiązywane za pomocą wprowadzenie zmiany zmiennej.
Przykład. Rozwiążmy równanie:
Znajdźmy równanie ODZ:
Równanie zawiera logarytmy podniesione do kwadratu, więc rozwiązuje się je za pomocą zmiany zmiennej.
Ważny! Przed wprowadzeniem zamiany musisz „wyciągnąć” logarytmy, które są częścią równania, w „cegły”, korzystając z właściwości logarytmów.
Podczas „wyciągania” logarytmów ważne jest bardzo ostrożne stosowanie właściwości logarytmów:
Ponadto jest tu jeszcze jedno subtelne miejsce i aby uniknąć powszechnego błędu, użyjemy równości pośredniej: stopień logarytmu zapisujemy w następującej postaci:
Podobnie,
Otrzymane wyrażenia podstawiamy do pierwotnego równania. Otrzymujemy:
Teraz widzimy, że niewiadoma jest zawarta w równaniu jako część . Przedstawiamy zamiennik: . Ponieważ może przyjąć dowolną wartość rzeczywistą, nie nakładamy żadnych ograniczeń na zmienną.
Rozważmy niektóre rodzaje równań logarytmicznych, które nie są tak często brane pod uwagę na lekcjach matematyki w szkole, ale są szeroko stosowane w przygotowywaniu zadań konkurencyjnych, w tym do USE.
1. Równania rozwiązywane metodą logarytmiczną
Podczas rozwiązywania równań zawierających zmienną zarówno w podstawie, jak iw wykładniku, stosowana jest metoda logarytmiczna. Jeżeli dodatkowo wykładnik zawiera logarytm, to obie strony równania należy zlogarytmować do podstawy tego logarytmu.
Przykład 1
Rozwiąż równanie: x log 2 x + 2 = 8.
Decyzja.
Bierzemy logarytm lewej i prawej strony równania w podstawie 2. Otrzymujemy
log 2 (x log 2 x + 2) = log 2 8,
(log 2 x + 2) log 2 x = 3.
Niech log 2 x = t.
Wtedy (t + 2)t = 3.
t 2 + 2 t - 3 = 0.
D \u003d 16. t 1 \u003d 1; t 2 \u003d -3.
Więc zaloguj 2 x \u003d 1 i x 1 \u003d 2 lub zaloguj 2 x \u003d -3 i x 2 \u003d 1/8
Odpowiedź: 1/8; 2.
2. Jednorodne równania logarytmiczne.
Przykład 2
Rozwiąż równanie log 2 3 (x 2 - 3x + 4) - 3log 3 (x + 5) log 3 (x 2 - 3x + 4) - 2log 2 3 (x + 5) = 0
Decyzja.
Dziedzina równań
(x2 - 3x + 4 > 0,
(x + 5 > 0. → x > -5.
log 3 (x + 5) = 0 dla x = -4. Sprawdzając, stwierdzamy, że dana wartość x nie jest 
jest pierwiastkiem pierwotnego równania. Dlatego możemy podzielić obie strony równania przez log 2 3 (x + 5).
Otrzymujemy log 2 3 (x 2 - 3x + 4) / log 2 3 (x + 5) - 3 log 3 (x 2 - 3x + 4) / log 3 (x + 5) + 2 = 0.
Niech log 3 (x 2 - 3x + 4) / log 3 (x + 5) = t. Wtedy t 2 - 3 t + 2 = 0. Pierwiastki tego równania to 1; 2. Wracając do pierwotnej zmiennej, otrzymujemy układ dwóch równań
Ale biorąc pod uwagę istnienie logarytmu, należy wziąć pod uwagę tylko wartości (0; 9). Oznacza to, że wyrażenie po lewej stronie przyjmuje największą wartość 2 przy x \u003d 1. Rozważmy teraz funkcja y \u003d 2 x-1 + 2 1-x. Jeśli weźmiemy t \u003d 2 x -1, to przyjmie postać y = t + 1/t, gdzie t > 0. W tych warunkach to ma jeden punkt krytyczny t = 1. To jest punkt minimalny Y vin = 2. I zostaje osiągnięty przy x = 1.
Jest teraz oczywiste, że wykresy rozważanych funkcji mogą przecinać się tylko raz w punkcie (1; 2). Okazuje się, że x \u003d 1 jest jedynym pierwiastkiem rozwiązywanego równania.
Odpowiedź: x = 1.
Przykład 5. Rozwiąż równanie log 2 2 x + (x - 1) log 2 x \u003d 6 - 2x
Decyzja.
Rozwiążmy to równanie dla log 2 x. Niech log 2 x = t. Następnie t 2 + (x - 1) t - 6 + 2x \u003d 0.
Re \u003d (x - 1) 2 - 4 (2x - 6) \u003d (x - 5) 2. t 1 \u003d -2; t 2 \u003d 3 - x.
Otrzymujemy log równania 2 x \u003d -2 lub log 2 x \u003d 3 - x.
Pierwiastek pierwszego równania to x 1 = 1/4. 
Pierwiastek dziennika równań 2 x \u003d 3 - x zostanie znaleziony przez wybór. Ta liczba to 2. Ten pierwiastek jest unikalny, ponieważ funkcja y \u003d log 2 x rośnie w całej dziedzinie definicji, a funkcja y \u003d 3 - x maleje.
Sprawdzając, łatwo upewnić się, że obie liczby są pierwiastkami równania
Odpowiedź: 1/4; 2.
strona, z pełnym lub częściowym kopiowaniem materiału, wymagany jest link do źródła.