Przykłady rozwiązywania równań logarytmicznych z pierwiastkami. Rozwiązywanie równań logarytmicznych - lekcja końcowa

Wielu uczniów utknęło na tego rodzaju równaniach. Jednocześnie same zadania nie są bynajmniej skomplikowane - wystarczy wykonać kompetentne podstawienie zmiennej, dla którego warto nauczyć się izolować wyrażenia stabilne.

Oprócz tej lekcji znajdziesz dość obszerną niezależną pracę, składającą się z dwóch opcji z 6 zadaniami każda.

Metoda grupowania

Dzisiaj przeanalizujemy dwa równania logarytmiczne, z których jednego nie da się rozwiązać „na wskroś” i wymaga specjalnych przekształceń, a drugiego… nie powiem jednak wszystkiego od razu. Obejrzyj wideo, pobierz niezależną pracę - i naucz się rozwiązywać złożone problemy.

A więc grupowanie i wyjmowanie wspólnych czynników z nawiasu. Dodatkowo powiem, jakie pułapki niesie ze sobą dziedzina definicji logarytmów i jak drobne uwagi w dziedzinie definicji mogą znacząco zmienić zarówno pierwiastki, jak i całe rozwiązanie.

Zacznijmy od grupowania. Musimy rozwiązać następujące równanie logarytmiczne:

log 2 x log 2 (x − 3) + 1 = log 2 (x 2 − 3x )

Przede wszystkim zauważamy, że x 2 − 3x można rozłożyć na czynniki:

log 2 x (x − 3)

Następnie przypominamy sobie cudowną formułę:

log a fg = log a f + log a g

Od razu mała uwaga: ta formuła działa dobrze, gdy a, f i g są zwykłymi liczbami. Ale kiedy zamiast nich są funkcje, wyrażenia te przestają być równe w prawach. Wyobraź sobie taką hipotetyczną sytuację:

f< 0; g < 0

W tym przypadku iloczyn fg będzie dodatni, więc log a ( fg ) będzie istniał, ale log a f i log a g nie będą istnieć oddzielnie i nie możemy wykonać takiego przekształcenia.

Ignorowanie tego faktu doprowadzi do zawężenia zakresu definicji, aw efekcie do utraty korzeni. Dlatego przed wykonaniem takiej transformacji należy wcześniej upewnić się, że funkcje f i g są dodatnie.

W naszym przypadku wszystko jest proste. Skoro w pierwotnym równaniu jest log funkcji 2 x, to x > 0 (w końcu zmienna x jest w argumencie). Istnieje również log 2 (x − 3), więc x − 3 > 0.

Dlatego w logu funkcji 2 x (x − 3) każdy czynnik będzie większy od zera. Dlatego możemy bezpiecznie rozłożyć iloczyn na sumę:

log 2 x log 2 (x − 3) + 1 = log 2 x + log 2 (x − 3)

log 2 x log 2 (x − 3) + 1 − log 2 x − log 2 (x − 3) = 0

Na pierwszy rzut oka może się wydawać, że wcale nie stało się to łatwiejsze. Wręcz przeciwnie: liczba terminów tylko wzrosła! Aby zrozumieć, jak postępować dalej, wprowadzamy nowe zmienne:

log 2 x = a

log 2 (x − 3) = b

za b + 1 - za - b = 0

A teraz grupujemy trzeci wyraz z pierwszym:

(a b - a) + (1 - b) = 0

za (1 b - 1) + (1 - b ) = 0

Zauważ, że zarówno pierwszy, jak i drugi nawias zawierają b − 1 (w drugim przypadku będziesz musiał usunąć „minus” z nawiasu). Rozłóżmy naszą konstrukcję na czynniki:

za (1 b - 1) - (b - 1) = 0

(b-1)(a1-1) = 0

A teraz przypominamy sobie naszą cudowną zasadę: iloczyn jest równy zeru, gdy przynajmniej jeden z czynników jest równy zeru:

b − 1 = 0 ⇒ b = 1;

za − 1 = 0 ⇒ za = 1.

Przypomnijmy sobie, czym są b i a. Otrzymujemy dwa proste równania logarytmiczne, w których pozostaje tylko pozbyć się znaków logarytmu i zrównać argumenty:

log 2 x = 1 ⇒ log 2 x = log 2 2 ⇒ x 1 = 2;

log 2 (x − 3) = 1 ⇒ log 2 (x − 3) = log 2 2 ⇒ x 2 = 5

Mamy dwa pierwiastki, ale to nie jest rozwiązanie pierwotnego równania logarytmicznego, a jedynie kandydaci na odpowiedź. Teraz sprawdźmy domenę. Dla pierwszego argumentu:

x > 0

Oba pierwiastki spełniają pierwszy warunek. Przejdźmy do drugiego argumentu:

x − 3 > 0 ⇒ x > 3

Ale tutaj już x = 2 nas nie satysfakcjonuje, ale x = 5 całkiem nam odpowiada. Dlatego jedyną odpowiedzią jest x = 5.

Przechodzimy do drugiego równania logarytmicznego. Na pierwszy rzut oka jest to znacznie prostsze. Jednak w procesie jego rozwiązywania rozważymy subtelne punkty związane z dziedziną definicji, której nieznajomość znacznie komplikuje życie początkującym studentom.

log 0,7 (x 2 - 6x + 2) = log 0,7 (7 - 2x)

Przed nami kanoniczna postać równania logarytmicznego. Nie musisz niczego konwertować - nawet podstawy są takie same. Dlatego po prostu zrównujemy argumenty:

x 2 - 6x + 2 = 7 - 2x

x 2 - 6x + 2 - 7 + 2x = 0

x 2 - 4x - 5 = 0

Przed nami podane równanie kwadratowe, które można łatwo rozwiązać za pomocą wzorów Vieta:

(x − 5) (x + 1) = 0;

x − 5 = 0 ⇒ x = 5;

x + 1 = 0 ⇒ x = −1.

Ale te korzenie nie są jeszcze ostatecznymi odpowiedziami. Konieczne jest znalezienie dziedziny definicji, ponieważ w pierwotnym równaniu są dwa logarytmy, tj. bezwzględnie konieczne jest uwzględnienie dziedziny definicji.

Wypiszmy więc dziedzinę definicji. Z jednej strony argument pierwszego logarytmu musi być większy od zera:

x 2 − 6x + 2 > 0

Z drugiej strony drugi argument również musi być większy od zera:

7 − 2x > 0

Wymagania te muszą być spełnione jednocześnie. I tu zaczyna się najciekawsze. Oczywiście możemy rozwiązać każdą z tych nierówności, następnie przeciąć je i znaleźć dziedzinę całego równania. Ale po co sobie tak utrudniać życie?

Zwróćmy uwagę na jedną subtelność. Pozbywając się znaków dziennika, zrównujemy argumenty. Oznacza to, że wymagania x 2 − 6x + 2 > 0 i 7 − 2x > 0 są równoważne. W konsekwencji każdą z dwóch nierówności można przekreślić. Skreślmy najtrudniejsze i zostawmy sobie zwykłą nierówność liniową:

-2x > -7

x< 3,5

Ponieważ dzieliliśmy obie strony przez liczbę ujemną, zmienił się znak nierówności.

Tak więc znaleźliśmy ODZ bez żadnych nierówności kwadratowych, wyróżników i przecięć. Teraz pozostaje tylko wybrać pierwiastki leżące na tym przedziale. Oczywiście tylko x = −1 będzie nam odpowiadać, bo x = 5 > 3,5.

Możesz zapisać odpowiedź: x = 1 jest jedynym rozwiązaniem oryginalnego równania logarytmicznego.

Wnioski z tego równania logarytmicznego są następujące:

1. Nie bój się rozłożyć logarytmów na czynniki, a następnie rozłożyć na czynniki sumę logarytmów. Pamiętaj jednak, że dzieląc iloczyn na sumę dwóch logarytmów, zawężasz w ten sposób dziedzinę definicji. Dlatego przed wykonaniem takiej konwersji koniecznie sprawdź, jaki jest zakres wymagań. Najczęściej nie pojawiają się żadne problemy, ale nie zaszkodzi jeszcze raz rozegrać to bezpiecznie.
2. Pozbywając się formy kanonicznej, spróbuj zoptymalizować obliczenia. W szczególności, jeśli wymaga się od nas, aby f > 0 i g > 0, ale w samym równaniu f = g , to śmiało skreślamy jedną z nierówności, zostawiając sobie tylko najprostszą. W takim przypadku dziedzina definicji i odpowiedzi w żaden sposób nie ucierpi, ale ilość obliczeń zostanie znacznie zmniejszona.

Właściwie to wszystko, co chciałem powiedzieć o zgrupowaniu. :)

Typowe błędy w rozwiązywaniu

Dzisiaj przeanalizujemy dwa typowe równania logarytmiczne, na które potyka się wielu uczniów. Na przykładzie tych równań zobaczymy, jakie błędy najczęściej popełniane są w procesie rozwiązywania i przekształcania oryginalnych wyrażeń.

Równania ułamkowo-wymierne z logarytmami

Należy od razu zauważyć, że jest to dość podstępny typ równania, w którym ułamek z logarytmem gdzieś w mianowniku nie zawsze jest natychmiast obecny. Jednak w procesie przemian taki ułamek koniecznie powstanie.

Jednocześnie bądź ostrożny: w procesie transformacji początkowa dziedzina definicji logarytmów może się znacznie zmienić!

Przechodzimy do jeszcze bardziej sztywnych równań logarytmicznych zawierających ułamki i zmienne podstawy. Aby zrobić więcej w jednej krótkiej lekcji, nie będę opowiadał elementarnej teorii. Przejdźmy od razu do zadań:

4 log 25 (x − 1) − log 3 27 + 2 log x − 1 5 = 1

Patrząc na to równanie, ktoś zapyta: „Co ma z tym wspólnego ułamkowe równanie wymierne? Gdzie jest ułamek w tym równaniu? Nie spieszmy się i przyjrzyjmy się bliżej każdemu terminowi.

Pierwszy wyraz: 4 log 25 (x - 1). Podstawą logarytmu jest liczba, ale argumentem jest funkcja x . Nie możemy jeszcze nic z tym zrobić. Pójść dalej.

Następny wyraz to log 3 27. Przypomnijmy, że 27 = 3 3 . Dlatego możemy przepisać cały logarytm w następujący sposób:

log 3 27 = 3 3 = 3

Więc drugi termin to tylko trzy. Trzeci wyraz: 2 log x − 1 5. Tu też nie wszystko jest proste: podstawą jest funkcja, argumentem jest zwykła liczba. Proponuję odwrócić cały logarytm według następującego wzoru:

log a b = 1/log b a

Takie przekształcenie można wykonać tylko wtedy, gdy b ≠ 1. W przeciwnym razie logarytm, który zostanie uzyskany w mianowniku drugiego ułamka, po prostu nie będzie istniał. W naszym przypadku b = 5, więc wszystko jest w porządku:

2 log x − 1 5 = 2/log 5 (x − 1)

Przepiszmy pierwotne równanie uwzględniając otrzymane przekształcenia:

4 log 25 (x − 1) − 3 + 2 / log 5 (x − 1) = 1

Mamy log 5 (x − 1) w mianowniku ułamka i log 25 (x − 1) w pierwszym wyrazie. Ale 25 \u003d 5 2, więc wyjmujemy kwadrat z podstawy logarytmu zgodnie z zasadą:

Innymi słowy, wykładnik u podstawy logarytmu staje się ułamkiem na początku. A wyrażenie zostanie przepisane w ten sposób:

4 1/2 log 5 (x − 1) − 3 + 2/ log 5 (x − 1) − 1 = 0

Skończyło się na długim równaniu z wieloma identycznymi logarytmami. Wprowadźmy nową zmienną:

log 5 (x − 1) = t;

2t − 4 + 2/t = 0;

Ale to już jest równanie ułamkowo-racjonalne, które rozwiązuje się za pomocą algebry stopni 8-9. Najpierw podzielmy to na dwa:

t - 2 + 1/t = 0;

(t 2 − 2 t + 1)/t = 0

Dokładny kwadrat jest w nawiasach. Zwińmy to:

(t − 1) 2 /t = 0

Ułamek jest równy zero, gdy jego licznik jest równy zero, a mianownik jest różny od zera. Nigdy nie zapominaj o tym fakcie:

(t − 1) 2 = 0

t=1

t ≠ 0

Przypomnijmy, co to jest t:

log 5 (x − 1) = 1

log 5 (x − 1) = log 5 5

Pozbywamy się znaków dziennika, zrównujemy ich argumenty i otrzymujemy:

x − 1 = 5 ⇒ x = 6

Wszyscy. Problem rozwiązany. Ale wróćmy do pierwotnego równania i pamiętajmy, że były dwa logarytmy ze zmienną x na raz. Dlatego musisz wypisać dziedzinę definicji. Ponieważ x − 1 jest argumentem logarytmicznym, to wyrażenie musi być większe od zera:

x-1 > 0

Z drugiej strony ten sam x − 1 występuje również w bazie, więc musi być różny od jedynki:

x − 1 ≠ 1

Stąd wnioskujemy:

x > 1; x ≠ 2

Wymagania te muszą być spełnione jednocześnie. Wartość x = 6 spełnia oba wymagania, więc x = 6 jest ostatecznym rozwiązaniem równania logarytmicznego.

Przejdźmy do drugiego zadania:

Ponownie, nie spieszmy się i spójrzmy na każdy termin:

log 4 (x + 1) - u podstawy jest czwórka. Zwykły numer i nie możesz go dotknąć. Ale ostatnim razem natknęliśmy się na dokładny kwadrat u podstawy, który trzeba było wyjąć spod znaku logarytmu. Zróbmy to samo teraz:

log 4 (x + 1) = 1/2 log 2 (x + 1)

Sztuczka polega na tym, że mamy już logarytm ze zmienną x , aczkolwiek w bazie - jest to odwrotność logarytmu, który właśnie znaleźliśmy:

8 log x + 1 2 = 8 (1/log 2 (x + 1)) = 8/log 2 (x + 1)

Następnym wyrazem jest log 2 8. Jest to stała, ponieważ zarówno argument, jak i podstawa są zwykłymi liczbami. Znajdźmy wartość:

log 2 8 = log 2 2 3 = 3

To samo możemy zrobić z ostatnim logarytmem:

Przekształćmy teraz pierwotne równanie:

1/2 log 2 (x + 1) + 8/log 2 (x + 1) - 3 - 1 = 0;

log 2 (x + 1)/2 + 8/log 2 (x + 1) − 4 = 0

Sprowadźmy wszystko do wspólnego mianownika:

Przed nami znowu ułamkowo-racjonalne równanie. Wprowadźmy nową zmienną:

t = log 2 (x + 1)

Przepiszmy równanie uwzględniając nową zmienną:

Uważaj: na tym etapie zamieniłem warunki. Licznik ułamka to kwadrat różnicy:

Tak jak ostatnio, ułamek jest równy zero, gdy jego licznik jest równy zero, a mianownik jest różny od zera:

(t − 4) 2 = 0 ⇒ t = 4;

t ≠ 0

Mamy jeden pierwiastek, który spełnia wszystkie wymagania, więc wracamy do zmiennej x:

log 2 (x + 1) = 4;

log 2 (x + 1) = log 2 2 4;

x + 1 = 16;

x=15

To wszystko, rozwiązaliśmy równanie. Ale ponieważ w pierwotnym równaniu było kilka logarytmów, konieczne jest wypisanie dziedziny definicji.

Zatem wyrażenie x + 1 jest argumentem logarytmu. Zatem x + 1 > 0. Z drugiej strony x + 1 występuje również w bazie, tj. x + 1 ≠ 1. Suma:

0 ≠ x > −1

Czy znaleziony korzeń spełnia te wymagania? Niewątpliwie. Dlatego x = 15 jest rozwiązaniem pierwotnego równania logarytmicznego.

Na koniec chciałbym powiedzieć, co następuje: jeśli spojrzysz na równanie i zrozumiesz, że musisz rozwiązać coś złożonego i niestandardowego, spróbuj wyróżnić stabilne struktury, które później zostaną oznaczone inną zmienną. Jeśli niektóre terminy w ogóle nie zawierają zmiennej x, często można je po prostu obliczyć.

To wszystko, o czym chciałem dzisiaj porozmawiać. Mam nadzieję, że ta lekcja pomoże ci w rozwiązywaniu złożonych równań logarytmicznych. Obejrzyj inne samouczki wideo, pobierz i rozwiąż samodzielną pracę i do zobaczenia w następnym filmie!

Algebra klasa 11

Temat: „Metody rozwiązywania równań logarytmicznych”

Cele Lekcji:

edukacyjny: kształtowanie wiedzy o różnych sposobach rozwiązywania równań logarytmicznych, umiejętność zastosowania ich w każdej konkretnej sytuacji i wybrania dowolnej metody rozwiązania;

rozwijanie: rozwijanie umiejętności obserwowania, porównywania, stosowania wiedzy w nowej sytuacji, identyfikowania wzorców, generalizowania; kształtowanie umiejętności wzajemnej kontroli i samokontroli;

wychowawcze: wychowanie odpowiedzialnego podejścia do pracy wychowawczej, uważne postrzeganie materiału na lekcji, dokładność prowadzenia dokumentacji.

Rodzaj lekcji: lekcja zapoznawcza z nowym materiałem.

„Wynalezienie logarytmów, skracając pracę astronoma, wydłużyło jego życie”.
Francuski matematyk i astronom P.S. Laplace'a

Podczas zajęć

I. Ustalenie celu lekcji

Przestudiowana definicja logarytmu, własności logarytmów oraz funkcja logarytmiczna pozwolą nam rozwiązywać równania logarytmiczne. Wszystkie równania logarytmiczne, bez względu na to, jak bardzo są złożone, są rozwiązywane przy użyciu tych samych algorytmów. Rozważymy te algorytmy dzisiaj podczas lekcji. Jest ich niewielu. Jeśli je opanujesz, każde równanie z logarytmami będzie wykonalne dla każdego z was.

Wpisz w zeszycie temat lekcji: „Metody rozwiązywania równań logarytmicznych”. Zapraszam wszystkich do współpracy.

II. Aktualizacja podstawowej wiedzy

Przygotujmy się do przestudiowania tematu lekcji. Rozwiązujesz każde zadanie i zapisujesz odpowiedź, nie możesz napisać warunku. Pracujcie w parach.

1) Dla jakich wartości x funkcja ma sens:

(Odpowiedzi są sprawdzane dla każdego slajdu, a błędy są usuwane)

2) Czy wykresy funkcji są zgodne?

3) Przepisz równości jako równości logarytmiczne:

4) Zapisz liczby w postaci logarytmów o podstawie 2:

5) Oblicz:

6) Spróbuj odtworzyć lub uzupełnić brakujące elementy w tych równościach.

III. Wprowadzenie do nowego materiału

Oświadczenie jest wyświetlane na ekranie:

„Równanie jest złotym kluczem, który otwiera wszystkie matematyczne sezamy”.
Współczesny polski matematyk S. Koval

Spróbuj sformułować definicję równania logarytmicznego. (Równanie zawierające niewiadomą pod znakiem logarytmu).

Rozważać najprostsze równanie logarytmiczne:dziennikax = b(gdzie a>0, a ≠ 1). Ponieważ funkcja logarytmiczna rośnie (lub maleje) na zbiorze liczb dodatnich i przyjmuje wszystkie wartości rzeczywiste, z pierwiastka twierdzenia wynika, że ​​dla dowolnego b równanie to ma zresztą tylko jedno rozwiązanie, i to dodatnie.

Przypomnij sobie definicję logarytmu. (Logarytm liczby x do podstawy a to wykładnik, do którego należy podnieść podstawę a, aby otrzymać liczbę x). Z definicji logarytmu wynika natychmiast, że aw jest takie rozwiązanie.

Zapisz tytuł: Metody rozwiązywania równań logarytmicznych

1. Z definicji logarytmu.

W ten sposób rozwiązuje się proste równania postaci.

Rozważać Nr 514 (a): Rozwiązać równanie

Jak proponujesz to rozwiązać? (Z definicji logarytmu)

Decyzja. , Stąd 2x - 4 = 4; x = 4.

W tym zadaniu 2x - 4 > 0, ponieważ > 0, zatem obce korzenie nie mogą się pojawić i nie ma potrzeby sprawdzania. Warunek 2x - 4 > 0 nie jest konieczny do zapisania w tym zadaniu.

2. Wzmocnienie(przejście od logarytmu podanego wyrażenia do samego tego wyrażenia).

Rozważać nr 519(g): log5(x2+8)-log5(x+1)=3log5 2

Jaką cechę zauważyłeś? (Podstawy są takie same, a logarytmy obu wyrażeń są równe). Co można zrobić? (potencjalny).

W takim przypadku należy wziąć pod uwagę, że każde rozwiązanie zawiera się wśród wszystkich x, dla których wyrażenia logarytmiczne są dodatnie.

Rozwiązanie: ODZ:

X2+8>0 dodatkowa nierówność

log5(x2+8) = log5 23+ log5(x+1)

log5(x2+8)=log5(8x+8)

Wzmocnij oryginalne równanie

otrzymujemy równanie x2+8= 8x+8

Rozwiązujemy to: x2-8x=0

Odpowiedź: 0; osiem

Ogólnie przejście na równoważny system:

Równanie

(Układ zawiera warunek redundantny - jedną z nierówności można zignorować).

Pytanie do klasy: Które z tych trzech rozwiązań najbardziej przypadło Ci do gustu? (Omówienie metod).

Masz prawo decydować w jakikolwiek sposób.

3. Wprowadzenie nowej zmiennej.

Rozważać nr 520(g). .

Co zauważyłeś? (To jest równanie kwadratowe dla log3x) Jakieś sugestie? (Wprowadź nową zmienną)

Decyzja. ODZ: x > 0.

Niech , wtedy równanie przybierze postać:. Dyskryminant D > 0. Pierwiastki z twierdzenia Viety:.

Wróćmy do zamiany: lub .

Rozwiązując najprostsze równania logarytmiczne, otrzymujemy:

Odpowiedź: 27;

4. Logarytm z obu stron równania.

Rozwiązać równanie:.

Rozwiązanie: ODZ: x>0, weź logarytm z obu stron równania o podstawie 10:

Zastosuj właściwość logarytmu stopnia:

(lgx + 3) lgx = 4

Niech lgx = y, wtedy (y + 3)y = 4

, (D > 0) pierwiastki według twierdzenia Vieta: y1 = -4 i y2 = 1.

Wróćmy do zamiany, otrzymujemy: lgx = -4,; log x = 1, .

Odpowiedź: 0,0001; 10.

5. Redukcja do jednej podstawy.

nr 523(c). Rozwiązać równanie:

Rozwiązanie: ODZ: x>0. Przejdźmy do bazy 3.

6. Metoda funkcjonalno-graficzna.

№ 509(d). Rozwiąż graficznie równanie: = 3 - x.

Jak proponujesz rozwiązać? (Skonstruuj wykresy dwóch funkcji y \u003d log2x i y \u003d 3 - x według punktów i poszukaj odciętej punktów przecięcia wykresów).

Zobacz rozwiązanie na slajdzie.

Czy istnieje sposób na uniknięcie spiskowania . Jest następująco : jeśli jedną z funkcji y = f(x) wzrasta i inne y = g(x) maleje na przedziale X, to równanie f(x)=g(x) ma co najwyżej jeden pierwiastek z przedziału X.

Jeśli istnieje korzeń, można go odgadnąć.

W naszym przypadku funkcja rośnie dla x>0, a funkcja y \u003d 3 - x maleje dla wszystkich wartości x, w tym x>0, co oznacza, że ​​\u200b\u200brównanie ma nie więcej niż jeden pierwiastek. Zauważ, że dla x = 2 równanie zamienia się w prawdziwą równość, ponieważ .

„Właściwego stosowania metod można się nauczyć,
tylko poprzez zastosowanie ich do różnych przykładów.
Duński historyk matematyki GG Zeiten

IV. Praca domowa

S. 39 rozważ przykład 3, rozwiąż nr 514 (b), nr 529 (b), nr 520 (b), nr 523 (b)

V. Podsumowanie lekcji

Jakie metody rozwiązywania równań logarytmicznych rozważaliśmy na lekcji?

W następnych lekcjach przyjrzymy się bardziej złożonym równaniom. Aby je rozwiązać, przydatne są badane metody.

Wyświetlanie ostatniego slajdu:

„Cóż jest ponad wszystko na świecie?
Przestrzeń.
Co to jest najmądrzejszy?
Czas.
Co jest najprzyjemniejsze?
Osiągnij to, czego pragniesz”.
Tales

Życzę wszystkim, aby osiągnęli to, czego chcą. Dziękujemy za współpracę i zrozumienie.

Jak wiesz, przy mnożeniu wyrażeń przez potęgi ich wykładniki zawsze się sumują (a b * a c = a b + c). To matematyczne prawo zostało wyprowadzone przez Archimedesa, a później, w VIII wieku, matematyk Virasen stworzył tablicę wskaźników całkowitych. To oni posłużyli do dalszego odkrycia logarytmów. Przykłady użycia tej funkcji można znaleźć niemal wszędzie tam, gdzie wymagane jest uproszczenie uciążliwego mnożenia do prostego dodawania. Jeśli poświęcisz 10 minut na przeczytanie tego artykułu, wyjaśnimy Ci, czym są logarytmy i jak z nimi pracować. Prosty i przystępny język.

Definicja w matematyce

Logarytm jest wyrażeniem następującej postaci: log a b=c, czyli logarytm dowolnej liczby nieujemnej (czyli dowolnej dodatniej) „b” zgodnie z jego podstawą „a” jest uważane za potęgę „c ", do którego należy podnieść podstawę "a", aby w końcu uzyskać wartość "b". Przeanalizujmy logarytm na przykładach, powiedzmy, że istnieje wyrażenie log 2 8. Jak znaleźć odpowiedź? To bardzo proste, trzeba znaleźć taki stopień, aby od 2 do wymaganego stopnia uzyskać 8. Po dokonaniu pewnych obliczeń w głowie otrzymujemy liczbę 3! I słusznie, bo 2 do potęgi 3 daje w odpowiedzi liczbę 8.

Odmiany logarytmów

Dla wielu uczniów i studentów ten temat wydaje się skomplikowany i niezrozumiały, ale w rzeczywistości logarytmy nie są takie straszne, najważniejsze jest zrozumienie ich ogólnego znaczenia i zapamiętanie ich właściwości i niektórych zasad. Istnieją trzy różne rodzaje wyrażeń logarytmicznych:

1. Logarytm naturalny ln a, gdzie podstawą jest liczba Eulera (e = 2,7).
2. Dziesiętne a, gdzie podstawą jest 10.
3. Logarytm dowolnej liczby b do podstawy a>1.

Każde z nich jest rozwiązywane w standardowy sposób, obejmujący uproszczenie, redukcję, a następnie redukcję do jednego logarytmu za pomocą twierdzeń logarytmicznych. Aby uzyskać prawidłowe wartości logarytmów, należy pamiętać o ich właściwościach i kolejności działań w ich decyzjach.

Zasady i pewne ograniczenia

W matematyce istnieje kilka reguł-ograniczeń, które są akceptowane jako aksjomat, to znaczy nie podlegają dyskusji i są prawdziwe. Na przykład niemożliwe jest dzielenie liczb przez zero, a także niemożliwe jest wyodrębnienie pierwiastka stopnia parzystego z liczb ujemnych. Logarytmy też mają swoje zasady, dzięki którym łatwo nauczysz się pracować nawet z długimi i pojemnymi wyrażeniami logarytmicznymi:

• podstawa „a” musi być zawsze większa od zera, a jednocześnie nie może być równa 1, w przeciwnym razie wyrażenie straci sens, ponieważ „1” i „0” w jakimkolwiek stopniu są zawsze równe swoim wartościom;
• jeśli a > 0, to a b > 0, to okazuje się, że „c” musi być większe od zera.

Jak rozwiązywać logarytmy?

Na przykład zadanie polegało na znalezieniu odpowiedzi na równanie 10 x \u003d 100. To bardzo proste, musisz wybrać taką potęgę, podnosząc liczbę dziesięć, do której otrzymujemy 100. To oczywiście jest 10 2 \u003d 100.

Teraz przedstawmy to wyrażenie jako logarytmiczne. Otrzymujemy log 10 100 = 2. Przy rozwiązywaniu logarytmów wszystkie działania praktycznie sprowadzają się do znalezienia stopnia, w jakim należy wprowadzić podstawę logarytmu, aby otrzymać daną liczbę.

Aby dokładnie określić wartość nieznanego stopnia, musisz nauczyć się pracować z tabelą stopni. To wygląda tak:

Jak widać, niektóre wykładniki można odgadnąć intuicyjnie, jeśli masz techniczne nastawienie i znasz tabliczkę mnożenia. Jednak większe wartości będą wymagały tabeli mocy. Może być używany nawet przez tych, którzy w ogóle nie rozumieją skomplikowanych zagadnień matematycznych. Lewa kolumna zawiera liczby (podstawa a), górny rząd liczb to wartość potęgi c, do której podnoszona jest liczba a. Na przecięciu komórek określane są wartości liczb, które są odpowiedzią (a c = b). Weźmy na przykład pierwszą komórkę z liczbą 10 i podnieś ją do kwadratu, otrzymamy wartość 100, która jest wskazana na przecięciu naszych dwóch komórek. Wszystko jest tak proste i łatwe, że zrozumie nawet najbardziej prawdziwy humanista!

Równania i nierówności

Okazuje się, że w pewnych warunkach wykładnikiem jest logarytm. Dlatego dowolne matematyczne wyrażenia liczbowe można zapisać jako równanie logarytmiczne. Na przykład 3 4 = 81 można zapisać jako logarytm 81 o podstawie 3, czyli cztery (log 3 81 = 4). Dla potęg ujemnych zasady są takie same: 2 -5 = 1/32 zapisujemy jako logarytm, otrzymujemy log 2 (1/32) = -5. Jednym z najbardziej fascynujących działów matematyki jest temat „logarytmów”. Rozważymy przykłady i rozwiązania równań nieco niżej, zaraz po przestudiowaniu ich właściwości. Przyjrzyjmy się teraz, jak wyglądają nierówności i jak odróżnić je od równań.

Podano wyrażenie o postaci: log 2 (x-1) > 3 - jest to nierówność logarytmiczna, ponieważ nieznana wartość „x” jest pod znakiem logarytmu. A także w wyrażeniu porównywane są dwie wielkości: logarytm żądanej liczby o podstawie drugiej jest większy niż liczba trzy.

Najważniejsza różnica między równaniami logarytmicznymi a nierównościami polega na tym, że równania z logarytmami (na przykład logarytm z 2 x = √9) implikują jedną lub więcej określonych wartości liczbowych w odpowiedzi, podczas gdy przy rozwiązywaniu nierówności zarówno zakres dopuszczalne wartości i punkty łamania tej funkcji. W konsekwencji odpowiedź nie jest prostym zbiorem pojedynczych liczb, jak w odpowiedzi równania, ale ciągłą serią lub zbiorem liczb.

Podstawowe twierdzenia o logarytmach

Podczas rozwiązywania prymitywnych zadań dotyczących znajdowania wartości logarytmu jego właściwości mogą nie być znane. Jednak jeśli chodzi o równania lub nierówności logarytmiczne, przede wszystkim konieczne jest jasne zrozumienie i zastosowanie w praktyce wszystkich podstawowych właściwości logarytmów. Z przykładami równań zapoznamy się później, najpierw przeanalizujmy bardziej szczegółowo każdą właściwość.

1. Podstawowa tożsamość wygląda następująco: a logaB = B. Ma zastosowanie tylko wtedy, gdy a jest większe od 0, a nie równe jeden, a B jest większe od zera.
2. Logarytm iloczynu można przedstawić za pomocą następującego wzoru: log d (s 1 * s 2) = log d s 1 + log d s 2. W tym przypadku warunkiem wstępnym jest: d, s 1 i s 2 > 0; a≠1. Możesz podać dowód dla tego wzoru logarytmów, z przykładami i rozwiązaniem. Niech log a s 1 = f 1 i log a s 2 = f 2 , następnie a f1 = s 1 , a f2 = s 2. Otrzymujemy, że s 1 *s 2 = a f1 *a f2 = a f1+f2 (właściwości stopnia ), i dalej z definicji: log a (s 1 *s 2)= f 1 + f 2 = log a s1 + log a s 2, co należało udowodnić.
3. Logarytm ilorazu wygląda następująco: log a (s 1 / s 2) = log a s 1 - log a s 2.
4. Twierdzenie w postaci wzoru przyjmuje następującą postać: log a q b n = n/q log a b.

Ta formuła nazywa się „własnością stopnia logarytmu”. Przypomina właściwości zwykłych stopni i nie jest to zaskakujące, ponieważ cała matematyka opiera się na regularnych postulatach. Spójrzmy na dowód.

Zarejestrujmy a b \u003d t, okazuje się, że a t \u003d b. Jeśli podniesiesz obie części do potęgi m: a tn = b n ;

ale ponieważ a tn = (a q) nt/q = b n , stąd log a q b n = (n*t)/t, to log a q b n = n/q log a b. Twierdzenie zostało udowodnione.

Przykłady problemów i nierówności

Najczęstsze typy problemów logarytmicznych to przykłady równań i nierówności. Znajdują się one w prawie wszystkich książkach problemowych, a także są zawarte w obowiązkowej części egzaminów z matematyki. Aby dostać się na uniwersytet lub zdać testy wstępne z matematyki, musisz wiedzieć, jak poprawnie rozwiązywać takie zadania.

Niestety, nie ma jednego planu ani schematu rozwiązywania i wyznaczania nieznanej wartości logarytmu, jednak do każdej nierówności matematycznej lub równania logarytmicznego można zastosować pewne zasady. Przede wszystkim należy dowiedzieć się, czy wyrażenie można uprościć lub sprowadzić do postaci ogólnej. Możesz uprościć długie wyrażenia logarytmiczne, jeśli prawidłowo użyjesz ich właściwości. Poznajmy ich wkrótce.

Rozwiązując równania logarytmiczne, należy określić, jaki rodzaj logarytmu mamy przed sobą: przykładowe wyrażenie może zawierać logarytm naturalny lub dziesiętny.

Oto przykłady ln100, ln1026. Ich rozwiązanie sprowadza się do tego, że trzeba określić stopień, w jakim podstawa 10 będzie równa odpowiednio 100 i 1026. W przypadku rozwiązań logarytmów naturalnych należy zastosować tożsamości logarytmiczne lub ich właściwości. Przyjrzyjmy się przykładom rozwiązywania problemów logarytmicznych różnego typu.

Jak korzystać z formuł logarytmicznych: z przykładami i rozwiązaniami

Przyjrzyjmy się więc przykładom użycia głównych twierdzeń o logarytmach.

1. Właściwość logarytmu iloczynu można wykorzystać w zadaniach, w których konieczne jest rozłożenie dużej wartości liczby b na prostsze czynniki. Na przykład log 2 4 + log 2 128 = log 2 (4*128) = log 2 512. Odpowiedź to 9.
2. log 4 8 = log 2 2 2 3 = 3/2 log 2 2 = 1,5 - jak widać, korzystając z czwartej własności stopnia logarytmu, udało nam się rozwiązać na pierwszy rzut oka złożone i nierozwiązywalne wyrażenie. Konieczne jest jedynie rozłożenie podstawy na czynniki, a następnie wyjęcie wartości wykładników ze znaku logarytmu.

Zadania z egzaminu

Logarytmy są często spotykane na egzaminach wstępnych, zwłaszcza w wielu problemach logarytmicznych na jednolitym egzaminie państwowym (egzamin państwowy dla wszystkich absolwentów szkół). Zazwyczaj zadania te występują nie tylko w części A (najłatwiejsza testowa część egzaminu), ale także w części C (zadania najtrudniejsze i najbardziej obszerne). Egzamin zakłada dokładną i perfekcyjną znajomość tematu "Logarytmy naturalne".

Przykłady i rozwiązania problemów pochodzą z oficjalnych wersji egzaminu. Zobaczmy, jak rozwiązuje się takie zadania.

Dany log 2 (2x-1) = 4. Rozwiązanie:
przepiszmy wyrażenie, upraszczając je trochę log 2 (2x-1) = 2 2 , z definicji logarytmu otrzymujemy to 2x-1 = 2 4 , więc 2x = 17; x = 8,5.

• Wszystkie logarytmy najlepiej sprowadzić do tej samej podstawy, aby rozwiązanie nie było kłopotliwe i mylące.
• Wszystkie wyrażenia pod znakiem logarytmu są oznaczane jako dodatnie, dlatego przy wyjęciu wykładnika wykładnika wyrażenia, który jest pod znakiem logarytmu i jako jego podstawa, wyrażenie pozostające pod logarytmem musi być dodatnie.

Cel lekcji: powtórzyć wiedzę uczniów na temat logarytmu liczby, jego własności; nauczyć się rozwiązywać równania logarytmiczne i konsolidować je podczas wykonywania ćwiczeń.

Zadania:

Edukacyjne: powtórzyć definicję i podstawowe własności logarytmów, umieć zastosować je w obliczaniu logarytmów, rozwiązywaniu równań logarytmicznych;

Rozwijanie: kształtowanie umiejętności rozwiązywania równań logarytmicznych;

Edukacyjne: pielęgnować wytrwałość, niezależność; wzbudzić zainteresowanie tematem

Rodzaj lekcji: lekcja nauki nowego materiału.

Wymagane wyposażenie techniczne:komputer, projektor, ekran.

Struktura i przebieg lekcji:

1. Organizowanie czasu.

nauczyciel .

Halo, siadaj! Dzisiaj tematem naszej lekcji jest „Rozwiązywanie równań logarytmicznych”, w której poznamy sposoby ich rozwiązywania z wykorzystaniem definicji i własności logarytmów.(slajd nr 1)

1. praca ustna.

Utrwalenie pojęcia logarytmu, powtórzenie jego podstawowych własności i własności funkcji logarytmicznej:

1. Rozgrzewka teoretyczna:

1. Zdefiniuj logarytm.(slajd numer 2)

2. Czy można znaleźć logarytm dowolnej liczby?

3. Jaka liczba może znajdować się u podstawy logarytmu?

4. Funkcja y=log 0,8 x rośnie lub maleje Dlaczego?

5. Jakie wartości może przyjąć funkcja logarytmiczna?

6. Jakie logarytmy nazywane są dziesiętnymi, naturalnymi?

7. Jakie są główne właściwości logarytmów.(slajd nr 3)

8. Czy można przejść z jednej podstawy logarytmu na drugą? Jak to zrobić?(slajd numer 4)

2. Praca nad kartą (3-4 uczniów):

Karta numer 1: Oblicz: a) dziennik 6 4 + dziennik 6 9 =

B) log 1/3 36 - log 1/3 12 =

Rozwiąż równanie: log 5 x \u003d 4 log 5 3 - 1/3 log 5 27

Karta nr 2:

Oblicz: a) log211 - log244 =

B) log1/64 + log1/69 =

Rozwiąż równanie: log 7 x \u003d 2 log 7 5 + 1/2 log 7 36 - 1/3 log 7 125.

Badanie klasy czołowej (ćwiczenia ustne)

Oblicz: (slajd numer 5)

Porównaj liczby: (slajd nr 6)

1. log ½ e i log ½ π;
2. log 2 √ 5/2 i log 2 √ 3/2.

Znajdź znak wyrażenia log 0,8 3 log 6 2/3. (slajd numer 7)

1. Sprawdzanie pracy domowej:

Do domu przydzielono następujące ćwiczenia: nr 327 (bez godzin), 331 (bez godzin), 333 (2) i 390 (6). Sprawdź odpowiedzi do tych zadań i odpowiedz na pytania uczniów.

1. Nauka nowego materiału:

Definicja: Równanie zawierające zmienną pod znakiem logarytmu nazywa się równaniem logarytmicznym.

Najprostszym przykładem równania logarytmicznego jest równanie
dziennik za x \u003d do (a\u003e 0, a ≠ 1)
Sposoby rozwiązywania równań logarytmicznych:(slajd numer 8)

1. Rozwiązywanie równań na podstawie definicji logarytmu.(slajd nr 9)

zaloguj się x = c (a > 0, a≠ 1) ma rozwiązanie x = a z .

Na podstawie definicji logarytmu rozwiązywane są równania, w których:

• biorąc pod uwagę podstawy i liczbę, wyznacza się logarytm,
• Biorąc pod uwagę logarytm i podstawę, określa się liczbę
• podstawa jest określona przez podaną liczbę i logarytm.

Przykłady:

log 2 128= x, log 16 x = ¾, log x 27= 3,

2 x \u003d 128, x \u003d 16 ¾, x 3 \u003d 27,

2 x \u003d 2 7, x \u003d 2 3, x 3 \u003d 3 3,

x \u003d 7. x = 8. x = 3.

a) dziennik 7 (3x-1)=2 (odpowiedź: x=3 1/3)

b) dziennik 2 (7-8x)=2 (odpowiedź: x=3/8).

1. metoda wzmacniania.(slajd numer 10)

Przez wzmocnienie rozumie się przejście od równości zawierającej logarytmy do równości, która ich nie zawiera, tj.

Log a f(x) = log a g(x), to f(x) = g(x), pod warunkiem, że f(x)>0, g(x)>0, a>0, a≠ 1.

Przykład:

Rozwiązać równanie =

ODZ:

3x-1>0; x>1/3

6x+8>0.

3x-1=6x+8

3x=9

x=-3

3 >1/3 - błędnie

Odpowiedź: Nie ma rozwiązań.

lg(x2 -2) \u003d lg x (odpowiedź: x \u003d 2)

1. Równania rozwiązane przez zastosowanie podstawowej tożsamości logarytmicznej.(slajd numer 11)

Przykład:

Rozwiązać równanie= log 2 (6-x)

ODZ:

6-x>0;

x>0;

x≠1;

log 2 x 2 > 0;

x2 >0.

Rozwiązanie systemowe: (0;1)Ụ (1;6).

Dziennik 2 (6-x)

x 2 = 6 x

x 2 + x-6 = 0

x=-3 nie należy do ODZ.

x=2 należy do ODZ.

Odpowiedź: x=2

Z klasą rozwiąż następujące równanie:

= (odpowiedź: x=1)

1. Metoda sprowadzania logarytmów do tej samej podstawy.(slajd numer 12)

Przykład:

Rozwiąż równanie logarytmiczne 16 x+ log 4 x+ log 2 x=7

ODZ: x>0

¼ log 2 x+½ log 2 x+ log 2 x=7

log 7/4 2x=7

log 2 x=4

х=16 – należy do ODZ.

Odpowiedź: x=16.

Rozwiąż następujące równanie z klasą:

3 (odpowiedź: x=5/3)

1. Równania rozwiązane przez zastosowanie właściwości logarytmu.(slajd numer 13)

Przykład:

Rozwiąż równanie logarytmiczne 2 (x +1) - log 2 (x -2) = 2.

ODZ:

x+1>0;

x-2>0. x>1.

Korzystamy ze wzoru na przekształcenie różnicy logarytmów logarytmu ilorazu, otrzymujemy log 2 = 2, skąd wynika= 4.

Rozwiązując ostatnie równanie, znajdujemy x \u003d 3, 3\u003e 1 - dobrze

Odpowiedź: x = 3.

Rozwiąż z klasą następujące równania:

a) log 5 (x + 1) + log 5 (x +5) = 1 (odpowiedź: x=0).

b) log 9 (37-12x) log 7-2x 3 = 1,

37-12x >0, x

7-2x >0, x

7-2x≠ 1; x≠ 3; x≠ 3;

Log 9 (37-12x) / log 3 (7-2x) = 1,

½ log 3 (37-12x) = log 3 (7-2x),

log 3 (37-12x) = log 3 (7-2x) 2,

37-12x \u003d 49-28x + 4x 2,

4x 2 -16x +12 \u003d 0,

X 2 -4x +3 \u003d 0, D \u003d 19, x 1 \u003d 1, x 2 =3, 3 to obcy pierwiastek.

Odpowiedź: x=1 jest pierwiastkiem równania.

C) lg (x 2 -6x + 9) - 2lg (x - 7) = lg9.

(x 2 -6x + 9) > 0, x ≠ 3,

X-7 > 0; x>7; x>7.

lg ((x-3)/(x-7)) 2 = lg9

((x-3)/(x-7)) 2 = 9,

(x-3) / (x-7) \u003d 3, (x-3) / (x-7) \u003d - 3,

x-3 \u003d 3x -21, x -3 \u003d - 3x +21,

x=9. x=6 - obcy pierwiastek.

Czek pokazuje pierwiastek z 9 równania.

Odpowiedź: 9

1. Równania rozwiązane przez wprowadzenie nowej zmiennej.(slajd numer 14)

Przykład:

Rozwiąż równanie lg 2 x - 6lgx + 5 \u003d 0.

ODZ: x>0.

Niech lgx = p, wtedy p 2 -6p+5=0.

s 1 = 1, s 2 = 5.

Powrót do wymiany:

lgх = 1, lgх =5

x=10, 10>0 – prawda x=100000, 100000>0 – prawda

Odpowiedź: 10 100 000

Rozwiąż następujące równanie z klasą:

Log 6 2 x + log 6 x +14 \u003d (√16 - x 2) 2 + x 2,

16 - x2 ≥0; - 4≤ x ≤ 4;

X>0, x>0, O.D.Z. [ 0,4).

Zaloguj 6 2 x + zaloguj 6 x +14 \u003d 16 - x 2 + x 2,

Log 6 2 x + log 6 x -2 = 0

Zastąp log 6 x = t

T2 + t-2 \u003d 0; D=9; t 1 \u003d 1, t 2 \u003d -2.

Dziennik 6 x = 1, x = 6 to obcy pierwiastek.

Dziennik 6 x=-2, x=1/36, sprawdź pokazuje, że 1/36 to pierwiastek.

Odpowiedź: 1/36.

1. Równania rozwiązane przez faktoring.(slajd numer 15)

Przykład:

Rozwiąż równanie logarytmiczne 4 (2x-1) ∙ log 4 x \u003d 2 log 4 (2x-1)

ODZ:

2x-1>0;

X>0. x>½.

log 4 (2x-1)∙ log 4 x - 2 log 4 (2x-1)=0

log 4 (2x-1)∙(log 4 x-2)=0

log 4 (2x-1)=0 lub log 4 x-2=0

2x-1=1 log 4x=2

x=1 x=16

1;16 - należą do ODZ

Odpowiedź: 1;16

Rozwiąż następujące równanie z klasą:

log 3 x ∙log 3 (3x-2)= log 3 (3x-2) (odpowiedź: x=1)

1. Sposób brania logarytmu z obu części równania.(slajd numer 16)

Przykład:

Rozwiąż równania

Weź logarytm z obu stron równania o podstawie 3.

Otrzymujemy log 3 = log 3 (3x)

otrzymujemy: log 3 x 2 log 3 x \u003d log 3 (3x),

2log 3 x log 3 x = log 3 3+ log 3 x,

2 log 3 2 x \u003d log 3 x +1,

2 log 3 2 x - log 3 x -1=0,

zamień log 3 x = p, x > 0

2 p 2 + p -2 \u003d 0; D=9; p 1 \u003d 1, p 2 \u003d -1/2

logarytm 3 x = 1, x = 3,

log 3 x \u003d -1 / 2, x \u003d 1 / √3.

Odpowiedź: 3; 1/√3

Rozwiąż następujące równanie z klasą:

Zaloguj 2 x - 1

x \u003d 64 (odpowiedź: x \u003d 8; x \u003d 1/4)

1. Metoda funkcjonalno-graficzna.(slajd numer 17)

Przykład:

Rozwiąż równania: log 3 x = 12 x.

Ponieważ funkcja y = log 3 x rośnie, a funkcja y \u003d 12 x maleje na (0; + ∞), to podane równanie w tym przedziale ma jeden pierwiastek.

Zbudujmy wykresy dwóch funkcji w jednym układzie współrzędnych: y = log 3 x i y = 12 x.

Przy x=10 podane równanie zamienia się w poprawną równość liczbową 1=1. Odpowiedź to x=10.

Rozwiąż następujące równanie z klasą:

1-√x \u003d ln x (odpowiedź: x \u003d 1).

1. Podsumowanie, refleksja (rozdaj kółka, na których chłopaki zaznaczają swój nastrój zdjęciem).(slajd nr 18,19)

Określ metodę rozwiązania równania:

1. Zadanie domowe: 340(1), 393(1), 395(1.3), 1357(1.2), 337(1), 338(1), 339(1)

Literatura

1. Ryazanowski, A.R. Matematyka. Klasy 5-11: Dodatkowe materiały do ​​lekcji matematyki / A.R. Ryazanovsky, EA Zajcew. - wyd. 2, stereotyp. - M.: Drop, 2002
2. Matematyka. Dodatek do gazety „Pierwszy września”. 1997. Nr 1, 10, 46, 48; 1998. Nr 8, 16, 17, 20, 21, 47.
3. Skorkina, N.M. Niestandardowe formy zajęć pozalekcyjnych. Dla gimnazjum i liceum / N.M. Skorkin. - Wołgograd: Nauczyciel, 2004
4. Ziv, BG, Goldich, VA Materiały dydaktyczne z algebry i zasad analizy dla klasy 10./B.G.Ziv, V.A.Goldich. - wyd. 3, poprawione. - Petersburg: „CheRo-on-Neva”, 2004
5. Algebra i początki analizy: matematyka dla szkół technicznych / wyd. GN Yakovleva.-M .: Nauka, 1987

Zapowiedź:

Aby skorzystać z podglądu prezentacji, załóż konto Google (konto) i zaloguj się: https://accounts.google.com

Podpisy slajdów:

Metody rozwiązywania równań logarytmicznych Nauczyciel matematyki: Plotnikova T.V. MBOU „Liceum nr 1 w Suzdal”

Definicja Logarytm liczby dodatniej b do podstawy a, gdzie a>0, a≠1, jest takim wykładnikiem c, do którego należy podnieść a, aby uzyskać b.

Własności logarytmów log a 1 = 0 log a a = 1 log a (x y)= log a x + log a y 3

Podstawowe formuły transferu 4

Oblicz: 5

Porównaj 6

7 Określ znak liczby:

Podstawowe metody rozwiązywania równań logarytmicznych

1. Korzystając z definicji logarytmu log og 2 128= x log x 27= 3 Rozwiąż następujące równania: a) log 7 (3x-1)=2 b) log 2 (7-8x)=2 9

2. Metoda wzmacniania Rozwiążmy następujące równanie: lg (x 2 -2) = lg x 10 2

11 3. Równania rozwiązane przez zastosowanie podstawowej tożsamości logarytmicznej Rozwiążmy następujące równanie: 1

12 4 . Metoda sprowadzania logarytmów do tej samej podstawy log 16 x + log 4 x + log 2 x = 7 Rozwiąż następujące równanie:

13 5. Równania rozwiązane przez zastosowanie właściwości logarytmu log 2 (x +1) - log 2 (x -2) \u003d 2 Rozwiązujemy następujące równania: a) l og 5 (x +1) + log 5 ( x +5) \u003d 1 b) log 9 (37-12x) log 7-2x 3 \u003d 1 c) lg (x 2 -6x + 9) - 2lg (x - 7) \u003d lg9 0 1 9

6. Równania rozwiązane przez wprowadzenie nowej zmiennej l g 2 x - 6lgx +5 = 0 Rozwiązujemy następujące równania: log 6 2 x + log 6 x +14 = (√16 - x 2) 2 + x 2 14

15 7. Równania rozwiązane przez faktoring log 4 (2x-1)∙ log 4 x =2 log 4 (2x-1) Rozwiąż następujące równania: log 3 x ∙ log 3 (3x-2)= log 3 ( 3x-2) ) 1

8. Metoda logarytmiczna Rozwiążmy następujące równanie: 16

9. Funkcjonalnie - metoda graficzna log 3 x = 12-x Rozwiążmy następujące równanie: 17 1

Określ metodę rozwiązania równania: Równanie: Metoda rozwiązywania logarytmu przejście do innej bazy faktoryzacja potęgowanie wprowadzenie nowej zmiennej przejście do innej bazy wykorzystanie właściwości logarytmu grafika logarytmiczna 18

Tak! I kto wymyślił te równania logarytmiczne! Mogę zrobić wszystko!!! Potrzebujesz jeszcze kilku przykładów? refleksja 19

Algebra klasa 11

Temat: „Metody rozwiązywania równań logarytmicznych”

Cele Lekcji:

edukacyjny: kształtowanie wiedzy o różnych sposobach rozwiązywania równań logarytmicznych, umiejętność zastosowania ich w każdej konkretnej sytuacji i wybrania dowolnej metody rozwiązania;

rozwijanie: rozwijanie umiejętności obserwowania, porównywania, stosowania wiedzy w nowej sytuacji, identyfikowania wzorców, generalizowania; kształtowanie umiejętności wzajemnej kontroli i samokontroli;

edukacyjny: edukacja odpowiedzialnego podejścia do pracy edukacyjnej, uważne postrzeganie materiału na lekcji, dokładność prowadzenia dokumentacji.

Rodzaj lekcji : lekcja zapoznawcza z nowym materiałem.

„Wynalezienie logarytmów, skracając pracę astronoma, wydłużyło jego życie”.
Francuski matematyk i astronom P.S. Laplace'a

Podczas zajęć

I. Ustalenie celu lekcji

Przestudiowana definicja logarytmu, własności logarytmów oraz funkcja logarytmiczna pozwolą nam rozwiązywać równania logarytmiczne. Wszystkie równania logarytmiczne, bez względu na to, jak bardzo są złożone, są rozwiązywane przy użyciu tych samych algorytmów. Rozważymy te algorytmy dzisiaj podczas lekcji. Jest ich niewielu. Jeśli je opanujesz, każde równanie z logarytmami będzie wykonalne dla każdego z was.

Wpisz w zeszycie temat lekcji: „Metody rozwiązywania równań logarytmicznych”. Zapraszam wszystkich do współpracy.

II. Aktualizacja podstawowej wiedzy

Przygotujmy się do przestudiowania tematu lekcji. Rozwiązujesz każde zadanie i zapisujesz odpowiedź, nie możesz napisać warunku. Pracujcie w parach.

1) Dla jakich wartości x funkcja ma sens:

a)

b)

w)

mi)

(Odpowiedzi są sprawdzane dla każdego slajdu, a błędy są usuwane)

2) Czy wykresy funkcji są zgodne?

a) y = x i

b)oraz

3) Przepisz równości jako równości logarytmiczne:

4) Zapisz liczby w postaci logarytmów o podstawie 2:

4 =

2 =

0,5 =

1 =

5) Oblicz :

6) Spróbuj odtworzyć lub uzupełnić brakujące elementy w tych równościach.

III. Wprowadzenie do nowego materiału

Oświadczenie jest wyświetlane na ekranie:

„Równanie jest złotym kluczem, który otwiera wszystkie matematyczne sezamy”.
Współczesny polski matematyk S. Koval

Spróbuj sformułować definicję równania logarytmicznego. (Równanie zawierające niewiadomą pod znakiem logarytmu ).

Rozważaćnajprostsze równanie logarytmiczne: dziennik a x = b (gdzie a>0, a ≠ 1). Ponieważ funkcja logarytmiczna rośnie (lub maleje) na zbiorze liczb dodatnich i przyjmuje wszystkie wartości rzeczywiste, z pierwiastka twierdzenia wynika, że ​​dla dowolnego b równanie to ma zresztą tylko jedno rozwiązanie, i to dodatnie.

Przypomnij sobie definicję logarytmu. (Logarytm liczby x do podstawy a to wykładnik, do którego należy podnieść podstawę a, aby otrzymać liczbę x ). Z definicji logarytmu wynika natychmiast, żea w jest takie rozwiązanie.

Zapisz tytuł:Metody rozwiązywania równań logarytmicznych

1. Z definicji logarytmu .

Tak powstają najprostsze równania postaci.

RozważaćNr 514 (a ): Rozwiązać równanie

Jak proponujesz to rozwiązać? (Z definicji logarytmu )

Decyzja . , Stąd 2x - 4 = 4; x = 4.

Odpowiedź: 4.

W tym zadaniu 2x - 4 > 0, ponieważ> 0, więc nie mogą pojawić się żadne obce korzenie, iweryfikacja nie jest konieczna . Warunek 2x - 4 > 0 w tym zadaniu nie jest konieczny do wypisywania.

2. Wzmocnienie (przejście od logarytmu podanego wyrażenia do samego tego wyrażenia).

Rozważaćnr 519(g): dziennik 5 ( x 2 +8)- dziennik 5 ( x+1)=3 dziennik 5 2

Jaką cechę zauważyłeś?(Podstawy są takie same, a logarytmy obu wyrażeń są równe) . Co można zrobić?(potencjalny).

W takim przypadku należy wziąć pod uwagę, że każde rozwiązanie zawiera się wśród wszystkich x, dla których wyrażenia logarytmiczne są dodatnie.

Decyzja: ODZ:

X 2 +8>0 dodatkowa nierówność

dziennik 5 ( x 2 +8) = dziennik 5 2 3 + dziennik 5 ( x+1)

dziennik 5 ( x 2 +8)= dziennik 5 (8 x+8)

Wzmocnij oryginalne równanie

x 2 +8= 8 x+8

otrzymujemy równaniex 2 +8= 8 x+8

Rozwiążmy to:x 2 -8 x=0

x=0, x=8

Odpowiedź: 0; osiem

Ogólnieprzejście na równoważny system :

Równanie

(Układ zawiera warunek redundantny - jedną z nierówności można zignorować).

Pytanie do klasy : Które z tych trzech rozwiązań najbardziej przypadło Ci do gustu? (Omówienie metod).

Masz prawo decydować w jakikolwiek sposób.

3. Wprowadzenie nowej zmiennej .

Rozważaćnr 520(g) . .

Co zauważyłeś? (To jest równanie kwadratowe dla log3x) Twoje sugestie? (Wprowadź nową zmienną)

Decyzja . ODZ: x > 0.

Zostawiać, to równanie przyjmie postać:. Wyróżnik D > 0. Pierwiastki z twierdzenia Viety:.

Powrót do wymiany:lub.

Rozwiązując najprostsze równania logarytmiczne, otrzymujemy:

; .

Odpowiadać : 27;

4. Logarytm z obu stron równania.

Rozwiązać równanie:.

Decyzja : ODZ: x>0, logarytmujemy obie strony równania o podstawie 10:

. Zastosuj właściwość logarytmu stopnia:

(lgx + 3) lgx =

(lgx + 3) lgx = 4

Niech lgx = y, wtedy (y + 3)y = 4

, (D > 0) pierwiastki według twierdzenia Vieta: y1 = -4 i y2 = 1.

Wróćmy do zamiany, otrzymujemy: lgx = -4,; log x = 1,. . Jest następująco: jeśli jedną z funkcji y = f(x) wzrasta i inne y = g(x) maleje na przedziale X, to równanie f(x)=g(x) ma co najwyżej jeden pierwiastek z przedziału X .

Jeśli istnieje korzeń, można go odgadnąć. .

Odpowiadać : 2

„Właściwego stosowania metod można się nauczyć,
tylko poprzez zastosowanie ich do różnych przykładów.
Duński historyk matematyki GG Zeiten

I V. Praca domowa

S. 39 rozważ przykład 3, rozwiąż nr 514 (b), nr 529 (b), nr 520 (b), nr 523 (b)

V. Podsumowanie lekcji

Jakie metody rozwiązywania równań logarytmicznych rozważaliśmy na lekcji?

W następnych lekcjach przyjrzymy się bardziej złożonym równaniom. Aby je rozwiązać, przydatne są badane metody.

Wyświetlanie ostatniego slajdu:

„Cóż jest ponad wszystko na świecie?
Przestrzeń.
Co to jest najmądrzejszy?
Czas.
Co jest najprzyjemniejsze?
Osiągnij to, czego pragniesz”.
Tales

Życzę wszystkim, aby osiągnęli to, czego chcą. Dziękujemy za współpracę i zrozumienie.