Logaritminių lygčių su šaknimis sprendimo pavyzdžiai. Logaritminių lygčių sprendimas – paskutinė pamoka

Daugelis studentų įstringa ties tokiomis lygtimis. Tuo pačiu metu pačios užduotys jokiu būdu nėra sudėtingos - pakanka tik atlikti kompetentingą kintamojo pakaitalą, kuriam turėtumėte išmokti atskirti stabilias išraiškas.

Be šios pamokos rasite gana didelį savarankišką darbą, susidedantį iš dviejų variantų su 6 užduotimis.

Grupavimo metodas

Šiandien analizuosime dvi logaritmines lygtis, iš kurių viena negali būti išspręsta „visą laiką“ ir reikalauja ypatingų transformacijų, o antroji... vis dėlto visko iš karto nepasakosiu. Žiūrėkite vaizdo įrašą, atsisiųskite savarankišką darbą ir sužinokite, kaip išspręsti sudėtingas problemas.

Taigi, grupavimas ir bendrų veiksnių pašalinimas iš skliaustų. Be to, papasakosiu, kokius spąstus neša logaritmų apibrėžimo sritis ir kaip mažos pastabos apibrėžimų srityje gali reikšmingai pakeisti tiek šaknis, tiek visą sprendimą.

Pradėkime nuo grupavimo. Turime išspręsti šią logaritminę lygtį:

log 2 x log 2 (x - 3) + 1 = log 2 (x 2 - 3x)

Visų pirma pažymime, kad x 2 − 3x gali būti koeficientas:

log 2 x (x – 3)

Tada prisimename nuostabią formulę:

log a fg = log a f + log a g

Iškart maža pastaba: ši formulė puikiai veikia, kai a, f ir g yra įprasti skaičiai. Tačiau kai vietoj jų yra funkcijos, šie posakiai nustoja būti lygiaverčiai teisėmis. Įsivaizduokite šią hipotetinę situaciją:

f< 0; g < 0

Šiuo atveju sandauga fg bus teigiama, todėl log a ( fg ) egzistuos, bet log a f ir log a g atskirai neegzistuoja ir tokios transformacijos atlikti negalime.

Jei nepaisysite šio fakto, apibrėžimo sritis susiaurės ir dėl to prarasite šaknis. Todėl prieš atliekant tokią transformaciją būtina iš anksto įsitikinti, kad funkcijos f ir g yra teigiamos.

Mūsų atveju viskas paprasta. Kadangi pradinėje lygtyje yra funkcija log 2 x, tai x > 0 (juk kintamasis x yra argumente). Taip pat yra log 2 (x − 3), taigi x − 3 > 0.

Todėl funkcijoje log 2 x (x − 3) kiekvienas koeficientas bus didesnis už nulį. Todėl galime saugiai suskaidyti produktą į sumą:

log 2 x log 2 (x - 3) + 1 = log 2 x + log 2 (x - 3)

log 2 x log 2 (x - 3) + 1 - log 2 x - log 2 (x - 3) = 0

Iš pirmo žvilgsnio gali atrodyti, kad lengviau nepasidarė. Priešingai: terminų skaičius tik didėjo! Norėdami suprasti, kaip elgtis toliau, pristatome naujus kintamuosius:

log 2 x = a

log 2 (x − 3) = b

a b + 1 − a − b = 0

O dabar trečiąjį terminą sugrupuojame su pirmuoju:

(a b – a) + (1 – b) = 0

a (1 b - 1) + (1 - b ) = 0

Atkreipkite dėmesį, kad ir pirmame, ir antrame skliausteliuose yra b – 1 (antruoju atveju turėsite išimti „minusą“ iš skliausčio). Suskaičiuokime savo konstrukciją:

a (1 b - 1) - (b - 1) = 0

(b – 1) (a 1 – 1) = 0

Ir dabar primename mūsų nuostabią taisyklę: produktas yra lygus nuliui, kai bent vienas iš veiksnių yra lygus nuliui:

b − 1 = 0 ⇒ b = 1;

a − 1 = 0 ⇒ a = 1.

Prisiminkime, kas yra b ir a. Gauname dvi paprastas logaritmines lygtis, kuriose belieka atsikratyti log ženklų ir sulyginti argumentus:

log 2 x = 1 ⇒ log 2 x = log 2 2 ⇒ x 1 =2;

log 2 (x - 3) = 1 ⇒ log 2 (x - 3) = log 2 2 ⇒ x 2 = 5

Gavome dvi šaknis, bet tai nėra pradinės logaritminės lygties sprendimas, o tik kandidatai į atsakymą. Dabar patikrinkime domeną. Dėl pirmojo argumento:

x > 0

Abi šaknys atitinka pirmąjį reikalavimą. Pereikime prie antrojo argumento:

x – 3 > 0 ⇒ x > 3

Bet čia jau x = 2 mūsų netenkina, bet x = 5 mums visai neblogai tinka. Todėl vienintelis atsakymas yra x = 5.

Mes pereiname prie antrosios logaritminės lygties. Iš pirmo žvilgsnio tai daug paprasčiau. Tačiau ją spręsdami apsvarstysime subtilius dalykus, susijusius su apibrėžimo sritimi, kurių nežinojimas gerokai apsunkina pradedančiųjų studentų gyvenimą.

log 0,7 (x 2 - 6x + 2) = log 0,7 (7 - 2x)

Prieš mus yra kanoninė logaritminės lygties forma. Nereikia nieko konvertuoti – net pagrindai vienodi. Todėl argumentus tiesiog sulyginame:

x 2 - 6x + 2 = 7 - 2x

x 2 - 6x + 2 - 7 + 2x = 0

x 2 - 4x - 5 = 0

Prieš mus yra duota kvadratinė lygtis, ji lengvai išsprendžiama naudojant Vieta formules:

(x – 5) (x + 1) = 0;

x − 5 = 0 ⇒ x = 5;

x + 1 = 0 ⇒ x = −1.

Tačiau šios šaknys dar nėra galutiniai atsakymai. Būtina rasti apibrėžimo sritį, nes pradinėje lygtyje yra du logaritmai, t.y. griežtai būtina atsižvelgti į apibrėžimo sritį.

Taigi, išrašykime apibrėžimo sritį. Viena vertus, pirmojo logaritmo argumentas turi būti didesnis už nulį:

x 2 − 6x + 2 > 0

Kita vertus, antrasis argumentas taip pat turi būti didesnis už nulį:

7–2x > 0

Šie reikalavimai turi būti įvykdyti vienu metu. Ir čia prasideda įdomiausia. Žinoma, galime išspręsti kiekvieną iš šių nelygybių, tada jas susikirsti ir rasti visos lygties sritį. Bet kam taip apsunkinti gyvenimą sau?

Pastebėkime vieną subtilumą. Atsikratydami rąstų ženklų, sutapatiname argumentus. Tai reiškia, kad reikalavimai x 2 − 6x + 2 > 0 ir 7 − 2x > 0 yra lygiaverčiai. Dėl to bet kuri iš dviejų nelygybių gali būti perbraukta. Nubraukime sunkiausią, o įprastą tiesinę nelygybę palikime sau:

-2x > -7

x< 3,5

Kadangi abi puses dalijome iš neigiamo skaičiaus, nelygybės ženklas pasikeitė.

Taigi, mes radome ODZ be jokių kvadratinių nelygybių, diskriminantų ir susikirtimų. Dabar belieka tik pasirinkti šaknis, kurios yra šiame intervale. Akivaizdu, kad mums tiks tik x = −1, nes x = 5 > 3,5.

Galite užsirašyti atsakymą: x = 1 yra vienintelis pradinės logaritminės lygties sprendimas.

Šios logaritminės lygties išvados yra šios:

1. Nebijokite koeficientuoti logaritmų ir tada apskaičiuoti logaritmų sumą. Tačiau atminkite, kad suskaidydami sandaugą į dviejų logaritmų sumą, taip susiaurinsite apibrėžimo sritį. Todėl prieš atlikdami tokį konvertavimą būtinai pasidomėkite, kokie yra apimties reikalavimai. Dažniausiai problemų nekyla, tačiau dar kartą pažaisti nekenkia.
2. Atsikratydami kanoninės formos, pabandykite optimizuoti skaičiavimus. Visų pirma, jei iš mūsų reikalaujama, kad f > 0 ir g > 0, bet pačioje lygtyje f = g , tai drąsiai išbraukiame vieną iš nelygybių, sau palikdami tik pačią paprasčiausią. Tokiu atveju apibrėžimo ir atsakymų sritis jokiu būdu nenukentės, tačiau skaičiavimų kiekis gerokai sumažės.

Tiesą sakant, tai yra viskas, ką norėjau pasakyti apie grupavimą. :)

Tipiškos klaidos sprendžiant

Šiandien mes analizuosime dvi tipines logaritmines lygtis, dėl kurių daugelis studentų suklumpa. Šių lygčių pavyzdyje pamatysime, kokios klaidos dažniausiai daromos sprendžiant ir transformuojant pradines išraiškas.

Trupmeninės-racionalinės lygtys su logaritmais

Iš karto reikia pastebėti, kad tai gana klastingas lygties tipas, kuriame trupmena su logaritmu kažkur vardiklyje ne visada yra iš karto. Tačiau transformacijų procese tokia trupmena būtinai atsiras.

Tuo pačiu būkite atsargūs: transformacijų procese pradinė logaritmų apibrėžimo sritis gali labai pasikeisti!

Mes kreipiamės į dar griežtesnes logaritmines lygtis, kuriose yra trupmenos ir kintamos bazės. Norėdamas per vieną trumpą pamoką padaryti daugiau, nepasakosiu elementarios teorijos. Eikime tiesiai prie užduočių:

4 log 25 (x − 1) − log 3 27 + 2 log x − 1 5 = 1

Žvelgdamas į šią lygtį, kažkas paklaus: „Ką su ja turi trupmeninė racionali lygtis? Kur yra trupmena šioje lygtyje? Neskubėkime ir atidžiau pažvelkime į kiekvieną terminą.

Pirmasis terminas: 4 log 25 (x − 1). Logaritmo pagrindas yra skaičius, bet argumentas yra x funkcija. Kol kas nieko negalime padaryti. Pirmyn.

Kitas narys yra log 3 27. Prisiminkite, kad 27 = 3 3 . Todėl visą logaritmą galime perrašyti taip:

log 3 27 = 3 3 = 3

Taigi antrasis terminas yra tik trejetas. Trečias narys: 2 log x − 1 5. Čia taip pat ne viskas paprasta: bazė yra funkcija, argumentas yra paprastas skaičius. Siūlau apversti visą logaritmą pagal šią formulę:

log a b = 1/log b a

Tokią transformaciją galima atlikti tik tuo atveju, jei b ≠ 1. Priešingu atveju logaritmo, kuris bus gautas antrosios trupmenos vardiklyje, tiesiog nebus. Mūsų atveju b = 5, taigi viskas gerai:

2 log x – 1 5 = 2/log 5 (x – 1)

Perrašykime pradinę lygtį, atsižvelgdami į gautas transformacijas:

4 log 25 (x - 1) - 3 + 2 / log 5 (x - 1) = 1

Trupmenos vardiklyje turime log 5 (x − 1), o pirmajame naryje log 25 (x − 1). Bet 25 \u003d 5 2, todėl kvadratą išimame iš logaritmo pagrindo pagal taisyklę:

Kitaip tariant, eksponentas logaritmo pagrindu tampa trupmena priekyje. Ir išraiška bus perrašyta taip:

4 1/2 log 5 (x − 1) − 3 + 2/ log 5 (x − 1) − 1 = 0

Mes gavome ilgą lygtį su daugybe identiškų logaritmų. Pristatykime naują kintamąjį:

log 5 (x − 1) = t;

2t – 4 + 2/t = 0;

Bet tai jau trupmeninė-racionali lygtis, kuri išsprendžiama 8-9 klasių algebra. Pirmiausia suskirstykime jį į dvi dalis:

t – 2 + 1/t = 0;

(t 2 – 2t + 1)/t = 0

Tikslus kvadratas yra skliausteliuose. Susukime:

(t − 1) 2 /t = 0

Trupmena yra lygi nuliui, kai jos skaitiklis lygus nuliui, o vardiklis – ne nulis. Niekada nepamirškite šio fakto:

(t – 1) 2 = 0

t=1

t ≠ 0

Prisiminkime, kas yra t:

log 5 (x − 1) = 1

log 5 (x − 1) = log 5 5

Atsikratome rąsto ženklų, sulyginame jų argumentus ir gauname:

x − 1 = 5 ⇒ x = 6

Visi. Problema išspręsta. Tačiau grįžkime prie pradinės lygties ir prisiminkime, kad iš karto buvo du logaritmai su kintamuoju x. Todėl turite parašyti apibrėžimo sritį. Kadangi x − 1 yra logaritmo argumente, ši išraiška turi būti didesnė už nulį:

x − 1 > 0

Kita vertus, tas pats x − 1 yra ir bazėje, todėl jis turi skirtis nuo vieno:

x – 1 ≠ 1

Taigi darome išvadą:

x > 1; x ≠ 2

Šie reikalavimai turi būti įvykdyti vienu metu. Reikšmė x = 6 atitinka abu reikalavimus, todėl x = 6 yra galutinis logaritminės lygties sprendimas.

Pereikime prie antrosios užduoties:

Vėlgi, neskubėkime ir pažvelkime į kiekvieną terminą:

žurnalas 4 (x + 1) - prie pagrindo yra keturi. Įprastas numeris, ir jūs negalite jo liesti. Tačiau praeitą kartą prie pagrindo užkliuvome tiksliai kvadratu, kurį reikėjo ištraukti iš po logaritmo ženklo. Padarykime tą patį dabar:

log 4 (x + 1) = 1/2 log 2 (x + 1)

Triukas yra tas, kad mes jau turime logaritmą su kintamuoju x , nors ir bazėje - tai yra atvirkštinė logaritmo, kurį ką tik radome:

8 log x + 1 2 = 8 (1 / log 2 (x + 1)) = 8 / log 2 (x + 1)

Kitas narys yra log 2 8. Tai konstanta, nes ir argumentas, ir pagrindas yra įprasti skaičiai. Raskime vertę:

log 2 8 = log 2 2 3 = 3

Tą patį galime padaryti su paskutiniu logaritmu:

Dabar perrašykime pradinę lygtį:

1/2 log 2 (x + 1) + 8/log 2 (x + 1) − 3 − 1 = 0;

log 2 (x + 1) / 2 + 8 / log 2 (x + 1) – 4 = 0

Suveskime viską į bendrą vardiklį:

Prieš mus vėl trupmeninė-racionali lygtis. Pristatykime naują kintamąjį:

t = log 2 (x + 1)

Perrašykime lygtį atsižvelgdami į naują kintamąjį:

Būkite atsargūs: šiame žingsnyje pakeičiau sąlygas. Trupmenos skaitiklis yra skirtumo kvadratas:

Kaip ir praėjusį kartą, trupmena yra lygi nuliui, kai jos skaitiklis yra nulis, o vardiklis yra ne nulis:

(t − 4) 2 = 0 ⇒ t = 4;

t ≠ 0

Gavome vieną šaknį, kuri atitinka visus reikalavimus, todėl grįžtame prie x kintamojo:

log 2 (x + 1) = 4;

log 2 (x + 1) = log 2 2 4;

x + 1 = 16;

x=15

Tai viskas, mes išsprendėme lygtį. Bet kadangi pradinėje lygtyje buvo keli logaritmai, būtina išrašyti apibrėžimo sritį.

Taigi, išraiška x + 1 yra logaritmo argumente. Todėl x + 1 > 0. Kita vertus, x + 1 yra ir bazėje, t.y. x + 1 ≠ 1. Iš viso:

0 ≠ x > –1

Ar rasta šaknis atitinka šiuos reikalavimus? Neabejotinai. Todėl x = 15 yra pradinės logaritminės lygties sprendimas.

Pabaigai norėčiau pasakyti štai ką: jei pažvelgsite į lygtį ir suprasite, kad turite išspręsti kažką sudėtingo ir nestandartinio, pabandykite išryškinti stabilias struktūras, kurios vėliau bus pažymėtos kitu kintamuoju. Jei kai kuriuose terminuose kintamojo x visai nėra, dažnai juos galima tiesiog apskaičiuoti.

Tai viskas, apie ką šiandien norėjau pakalbėti. Tikiuosi, kad ši pamoka padės jums išspręsti sudėtingas logaritmines lygtis. Peržiūrėkite kitus vaizdo įrašų vadovėlius, atsisiųskite ir išspręskite savarankišką darbą, o iki susitikimo kitame vaizdo įraše!

Algebra 11 klasė

Tema: „Logaritminių lygčių sprendimo metodai“

Pamokos tikslai:

edukacinis: žinių apie įvairius logaritminių lygčių sprendimo būdus formavimas, gebėjimas jas taikyti kiekvienoje konkrečioje situacijoje ir pasirinkti bet kokį sprendimo būdą;

ugdomas: gebėjimų stebėti, lyginti, taikyti žinias naujoje situacijoje, nustatyti modelius, apibendrinti ugdymas; savikontrolės ir savikontrolės įgūdžių formavimas;

ugdomasis: atsakingo požiūrio į ugdomąjį darbą ugdymas, atidus pamokos medžiagos suvokimas, apskaitos tikslumas.

Pamokos tipas: susipažinimo su nauja medžiaga pamoka.

„Logaritmų išradimas, sutrumpinęs astronomo darbą, pailgino jo gyvenimą.
Prancūzų matematikas ir astronomas P.S. Laplasas

Per užsiėmimus

I. Pamokos tikslo nustatymas

Ištirtas logaritmo apibrėžimas, logaritmų savybės ir logaritminė funkcija leis išspręsti logaritmines lygtis. Visos logaritminės lygtys, kad ir kokios sudėtingos jos būtų, sprendžiamos naudojant tuos pačius algoritmus. Šiuos algoritmus aptarsime šiandien pamokoje. Jų nedaug. Jei juos įvaldysite, bet kokia logaritmų lygtis bus įmanoma kiekvienam iš jūsų.

Užsirašykite į sąsiuvinį pamokos temą: „Logaritminių lygčių sprendimo būdai“. Kviečiu visus bendradarbiauti.

II. Pagrindinių žinių atnaujinimas

Pasiruoškime studijuoti pamokos temą. Jūs išsprendžiate kiekvieną užduotį ir užsirašote atsakymą, negalite parašyti sąlygos. Dirbti porose.

1) Kokioms x reikšmėms funkcija prasminga:

(Kiekvienos skaidrės atsakymai tikrinami ir klaidos išrūšiuojamos)

2) Ar funkcijų grafikai sutampa?

3) Perrašykite lygybes į logaritmines lygybes:

4) Parašykite skaičius kaip logaritmus su 2 baze:

5) Apskaičiuokite:

6) Pabandykite atkurti arba papildyti trūkstamus elementus šiose lygybėse.

III. Įvadas į naują medžiagą

Ekrane rodomas pareiškimas:

"Lygtis yra auksinis raktas, kuris atrakina visą matematinį sezamą."
Šiuolaikinis lenkų matematikas S. Kovalis

Pabandykite suformuluoti logaritminės lygties apibrėžimą. (Lygtis, kurioje yra nežinomasis po logaritmo ženklu).

Apsvarstykite Paprasčiausia logaritminė lygtis:žurnalasax = b(kur a>0, a ≠ 1). Kadangi logaritminė funkcija didėja (arba mažėja) teigiamų skaičių aibėje ir įgauna visas realias reikšmes, iš šaknies teoremos išplaukia, kad bet kuriai b ši lygtis turi, be to, tik vieną sprendinį ir teigiamą.

Prisiminkite logaritmo apibrėžimą. (Skaičiaus x logaritmas iki pagrindo a yra eksponentas, iki kurio reikia pakelti bazę a, kad gautume skaičių x). Iš logaritmo apibrėžimo iš karto išplaukia, kad ain yra toks sprendimas.

Užsirašykite pavadinimą: Logaritminių lygčių sprendimo būdai

1. Pagal logaritmo apibrėžimą.

Taip išsprendžiamos paprastos formos lygtys.

Apsvarstykite Nr. 514(a): Išspręskite lygtį

Kaip siūlote ją išspręsti? (Pagal logaritmo apibrėžimą)

Sprendimas. , Vadinasi, 2x - 4 = 4; x = 4.

Šioje užduotyje 2x - 4 > 0, nes > 0, todėl pašalinių šaknų atsirasti negali ir tikrinti nereikia. Sąlygos 2x - 4 > 0 šioje užduotyje išrašyti nebūtina.

2. Potencija(perėjimas nuo pateiktos išraiškos logaritmo prie šios išraiškos).

Apsvarstykite Nr. 519(g): log5(x2+8)-log5(x+1)=3log5 2

Kokią savybę pastebėjote? (Pagrindai yra vienodi, o abiejų išraiškų logaritmai yra vienodi). Ką galima padaryti? (galioja).

Šiuo atveju reikia atsižvelgti į tai, kad bet koks sprendimas yra tarp visų x, kurių logaritmų išraiškos yra teigiamos.

Sprendimas: ODZ:

X2+8>0 papildoma nelygybė

log5(x2+8) = log5 23+ log5(x+1)

log5(x2+8)=log5(8x+8)

Sustiprinkite pradinę lygtį

gauname lygtį x2+8= 8x+8

Išsprendžiame: x2-8x=0

Atsakymas: 0; aštuoni

Apskritai pereiti prie lygiavertės sistemos:

Lygtis

(Sistemoje yra perteklinė sąlyga – vienos iš nelygybių galima nepaisyti).

Klausimas klasei: Kuris iš šių trijų sprendimų jums patiko labiausiai? (Metodų aptarimas).

Jūs turite teisę nuspręsti bet kokiu būdu.

3. Naujo kintamojo įvedimas.

Apsvarstykite Nr. 520 (g). .

ką pastebėjai? (Tai kvadratinė log3x lygtis) Turite pasiūlymų? (Įvesti naują kintamąjį)

Sprendimas. ODZ: x > 0.

Leiskite , tada lygtis bus tokia:. Diskriminantas D > 0. Šaknys pagal Vietos teoremą:.

Grįžkime prie pakeitimo: arba .

Išspręsdami paprasčiausias logaritmines lygtis, gauname:

Atsakymas: 27;

4. Abiejų lygties pusių logaritmas.

Išspręskite lygtį:.

Sprendimas: ODZ: x>0, paimkite abiejų lygties pusių logaritmą 10 bazėje:

Taikykite laipsnio logaritmo savybę:

(lgx + 3) lgx = 4

Tegul lgx = y, tada (y + 3)y = 4

, (D > 0) šaknys pagal Vietos teoremą: y1 = -4 ir y2 = 1.

Grįžkime prie pakeitimo, gauname: lgx = -4,; logx = 1, .

Atsakymas: 0,0001; 10.

5. Sumažinimas iki vieno pagrindo.

Nr.523(c). Išspręskite lygtį:

Sprendimas: ODZ: x>0. Pereikime prie 3 bazės.

6. Funkcinis-grafinis metodas.

№ 509 d. Grafiškai išspręskite lygtį: = 3 - x.

Kaip siūlote spręsti? (Sukurkite dviejų funkcijų y \u003d log2x ir y \u003d 3 - x grafikus pagal taškus ir ieškokite grafikų susikirtimo taškų abscisių).

Peržiūrėkite savo sprendimą skaidrėje.

Ar yra būdas išvengti sąmokslo . Tai yra taip : jei viena iš funkcijų y = f(x) didėja ir kita y = g(x) mažėja intervale X, tada lygtis f(x)=g(x) turi daugiausia vieną šaknį intervale X.

Jei yra šaknis, tai galima atspėti.

Mūsų atveju funkcija didėja, kai x>0, o funkcija y \u003d 3 - x mažėja visoms x reikšmėms, įskaitant x>0, o tai reiškia, kad lygtis turi ne daugiau kaip vieną šaknį. Atkreipkite dėmesį, kad jei x = 2, lygtis virsta tikra lygybe, nes .

„Galima išmokti teisingai taikyti metodus,
tik pritaikius juos įvairiems pavyzdžiams.
Danų matematikos istorikas G. G. Zeitenas

ašV. Namų darbai

P. 39 apsvarstykite 3 pavyzdį, spręskite Nr. 514 (b), Nr. 529 (b), Nr. 520 (b), Nr. 523 (b)

V. Apibendrinant pamoką

Kokius logaritminių lygčių sprendimo būdus nagrinėjome pamokoje?

Kitose pamokose apžvelgsime sudėtingesnes lygtis. Norint juos išspręsti, naudingi tiriami metodai.

Rodoma paskutinė skaidrė:

„Kas yra daugiau už viską pasaulyje?
Erdvė.
Kas yra išmintingiausias?
Laikas.
Kas yra maloniausia?
Pasiekite tai, ko norite“.
Taliai

Noriu, kad kiekvienas pasiektų tai, ko nori. Dėkojame už bendradarbiavimą ir supratingumą.

Kaip žinote, dauginant išraiškas su laipsniais, jų rodikliai visada sumuojasi (a b * a c = a b + c). Šį matematinį dėsnį išvedė Archimedas, o vėliau, VIII amžiuje, matematikas Virasenas sukūrė sveikųjų skaičių rodiklių lentelę. Būtent jie pasitarnavo tolesniam logaritmų atradimui. Šios funkcijos naudojimo pavyzdžių galima rasti beveik visur, kur reikia supaprastinti sudėtingą daugybą iki paprasto sudėjimo. Jei skaitydami šį straipsnį skirsite 10 minučių, paaiškinsime, kas yra logaritmai ir kaip su jais dirbti. Paprasta ir prieinama kalba.

Apibrėžimas matematikoje

Logaritmas yra tokios formos išraiška: log a b=c, tai yra, bet kurio neneigiamo skaičiaus (ty bet kurio teigiamo) "b" logaritmas pagal jo bazę "a" laikomas "c" galia. “, iki kurio reikia pakelti bazę „a“, kad galiausiai gautumėte reikšmę „b“. Išanalizuokime logaritmą naudodami pavyzdžius, tarkime, kad yra išraiška log 2 8. Kaip rasti atsakymą? Tai labai paprasta, reikia rasti tokį laipsnį, kad nuo 2 iki reikiamo laipsnio gautum 8. Mintyse atlikę tam tikrus skaičiavimus, gauname skaičių 3! Ir teisingai, nes 2 iki 3 laipsnio atsakyme suteikia skaičių 8.

Logaritmų atmainos

Daugeliui mokinių ir studentų ši tema atrodo sudėtinga ir nesuprantama, tačiau iš tikrųjų logaritmai nėra tokie baisūs, svarbiausia suprasti jų bendrą reikšmę ir atsiminti jų savybes bei kai kurias taisykles. Yra trys skirtingos logaritminių išraiškų rūšys:

1. Natūralusis logaritmas ln a, kur bazė yra Eulerio skaičius (e = 2,7).
2. Dešimtainė a, kur bazė yra 10.
3. Bet kurio skaičiaus b logaritmas bazei a>1.

Kiekvienas iš jų yra išspręstas standartiniu būdu, įskaitant supaprastinimą, sumažinimą ir vėlesnį sumažinimą iki vieno logaritmo naudojant logaritmines teoremas. Norint gauti teisingas logaritmų reikšmes, reikia atsiminti jų savybes ir veiksmų eiliškumą priimant sprendimus.

Taisyklės ir kai kurie apribojimai

Matematikoje yra keletas taisyklių-ribojimų, kurie priimami kaip aksioma, tai yra, jie nėra diskutuojami ir yra teisingi. Pavyzdžiui, neįmanoma padalyti skaičių iš nulio, taip pat neįmanoma iš neigiamų skaičių išskirti lyginio laipsnio šaknies. Logaritmai taip pat turi savo taisykles, kuriomis vadovaudamiesi galite lengvai išmokti dirbti net su ilgomis ir talpiomis logaritminėmis išraiškomis:

• bazė "a" visada turi būti didesnė už nulį ir tuo pačiu metu negali būti lygi 1, kitaip išraiška praras savo reikšmę, nes "1" ir "0" bet kokiu laipsniu visada yra lygūs jų reikšmėms;
• jei a > 0, tai a b > 0, išeina, kad „c“ turi būti didesnis už nulį.

Kaip išspręsti logaritmus?

Pavyzdžiui, buvo duota užduotis rasti atsakymą į lygtį 10 x \u003d 100. Tai labai paprasta, reikia pasirinkti tokią galią, pakeliant skaičių dešimt, iki kurio gauname 100. Tai, žinoma, yra 10 2 \u003d 100.

Dabar pavaizduokime šią išraišką kaip logaritminę. Gauname log 10 100 = 2. Sprendžiant logaritmus visi veiksmai praktiškai suartėja, kad būtų nustatytas laipsnis, iki kurio reikia įvesti logaritmo bazę, kad gautume duotą skaičių.

Norėdami tiksliai nustatyti nežinomo laipsnio reikšmę, turite išmokti dirbti su laipsnių lentele. Tai atrodo taip:

Kaip matote, kai kuriuos eksponentus galima atspėti intuityviai, jei turite techninį mąstymą ir išmanote daugybos lentelę. Tačiau didesnėms vertėms reikės maitinimo lentelės. Ją gali naudoti net tie, kurie visiškai nieko nesupranta sudėtingose ​​matematinėse temose. Kairiajame stulpelyje yra skaičiai (bazė a), viršutinėje skaičių eilutėje yra laipsnio c reikšmė, iki kurios pakeliamas skaičius a. Ląstelių sankirtoje nustatomos skaičių reikšmės, kurios yra atsakymas (a c = b). Paimkime, pavyzdžiui, patį pirmąjį langelį su skaičiumi 10 ir padėkite jį kvadratu, gausime reikšmę 100, kuri yra nurodyta mūsų dviejų langelių sankirtoje. Viskas taip paprasta ir lengva, kad supras net pats tikriausias humanistas!

Lygtys ir nelygybės

Pasirodo, tam tikromis sąlygomis eksponentas yra logaritmas. Todėl bet kurios matematinės skaitinės išraiškos gali būti parašytos kaip logaritminė lygtis. Pavyzdžiui, 3 4 =81 galima parašyti kaip logaritmą nuo 81 iki 3 bazės, kuri yra keturi (log 3 81 = 4). Neigiamų galių taisyklės tos pačios: 2 -5 = 1/32 rašome logaritmu, gauname log 2 (1/32) = -5. Viena patraukliausių matematikos skyrių yra „logaritmų“ tema. Lygčių pavyzdžius ir sprendimus svarstysime šiek tiek žemiau, iš karto ištyrę jų savybes. Dabar pažiūrėkime, kaip atrodo nelygybės ir kaip jas atskirti nuo lygčių.

Pateikiama tokios formos išraiška: log 2 (x-1) > 3 - tai logaritminė nelygybė, nes nežinoma reikšmė "x" yra po logaritmo ženklu. Taip pat išraiškoje lyginami du dydžiai: norimo skaičiaus logaritmas bazėje du yra didesnis nei skaičius trys.

Svarbiausias skirtumas tarp logaritminių lygčių ir nelygybių yra tas, kad lygtys su logaritmais (pavyzdžiui, logaritmas 2 x = √9) atsakyme reiškia vieną ar daugiau konkrečių skaitinių reikšmių, o sprendžiant nelygybę, tiek priimtinos reikšmės ir taškai, pažeidžiantys šią funkciją. Todėl atsakymas yra ne paprasta atskirų skaičių rinkinys, kaip lygties atsakyme, o ištisinė skaičių serija arba rinkinys.

Pagrindinės teoremos apie logaritmus

Sprendžiant primityvias užduotis ieškant logaritmo reikšmių, jo savybės gali būti nežinomos. Tačiau kalbant apie logaritmines lygtis ar nelygybes, pirmiausia reikia aiškiai suprasti ir praktiškai pritaikyti visas pagrindines logaritmų savybes. Su lygčių pavyzdžiais susipažinsime vėliau, pirmiausia išanalizuokime kiekvieną savybę išsamiau.

1. Pagrindinė tapatybė atrodo taip: a logaB =B. Jis taikomas tik tuo atveju, jei a yra didesnis nei 0, nelygus vienetui, o B yra didesnis už nulį.
2. Produkto logaritmą galima pavaizduoti tokia formule: log d (s 1 * s 2) = log d s 1 + log d s 2. Šiuo atveju būtina sąlyga: d, s 1 ir s 2 > 0; a≠1. Galite pateikti šios logaritmų formulės įrodymą su pavyzdžiais ir sprendimu. Tegu log a s 1 = f 1 ir log a s 2 = f 2, tada a f1 = s 1, a f2 = s 2. Gauname, kad s 1 *s 2 = a f1 *a f2 = a f1+f2 (laipsnio savybės ), o toliau pagal apibrėžimą: log a (s 1 *s 2)= f 1 + f 2 = log a s1 + log a s 2, kurį reikėjo įrodyti.
3. Dalinio logaritmas atrodo taip: log a (s 1 / s 2) = log a s 1 - log a s 2.
4. Teorema formulės pavidalu įgauna tokią formą: log a q b n = n/q log a b.

Ši formulė vadinama „logaritmo laipsnio savybe“. Tai primena įprastų laipsnių savybes, ir tai nenuostabu, nes visa matematika remiasi įprastais postulatais. Pažiūrėkime į įrodymą.

Leiskite įregistruoti a b \u003d t, pasirodo, a t \u003d b. Jei abi dalis pakelsite laipsniu m: a tn = b n ;

bet kadangi a tn = (a q) nt/q = b n , vadinasi, log a q b n = (n*t)/t, tai log a q b n = n/q log a b. Teorema įrodyta.

Problemų ir nelygybių pavyzdžiai

Dažniausiai pasitaikantys logaritmų uždaviniai yra lygčių ir nelygybių pavyzdžiai. Jie yra beveik visose probleminėse knygose, taip pat yra įtraukti į privalomą matematikos egzaminų dalį. Norint įstoti į universitetą ar išlaikyti stojamuosius matematikos testus, reikia žinoti, kaip teisingai išspręsti tokias užduotis.

Deja, nėra vieno plano ar schemos, kaip išspręsti ir nustatyti nežinomą logaritmo reikšmę, tačiau kiekvienai matematinei nelygybei ar logaritminei lygčiai gali būti taikomos tam tikros taisyklės. Pirmiausia turėtumėte išsiaiškinti, ar išraišką galima supaprastinti arba sumažinti iki bendros formos. Galite supaprastinti ilgas logaritmines išraiškas, jei teisingai naudojate jų savybes. Greitai su jais susipažinkime.

Sprendžiant logaritmines lygtis, būtina nustatyti, kokį logaritmą turime prieš mus: išraiškos pavyzdyje gali būti natūralusis logaritmas arba dešimtainis.

Štai pavyzdžiai ln100, ln1026. Jų sprendimas yra susijęs su tuo, kad reikia nustatyti, kokiu laipsniu bazė 10 bus lygi atitinkamai 100 ir 1026. Natūralių logaritmų sprendiniams reikia taikyti logaritminius tapatumus arba jų savybes. Pažvelkime į įvairių tipų logaritminių uždavinių sprendimo pavyzdžius.

Kaip naudoti logaritmo formules: su pavyzdžiais ir sprendimais

Taigi, pažvelkime į pagrindinių logaritmų teoremų naudojimo pavyzdžius.

1. Produkto logaritmo savybę galima naudoti atliekant užduotis, kur reikia išskaidyti didelę skaičiaus b reikšmę į paprastesnius veiksnius. Pavyzdžiui, log 2 4 + log 2 128 = log 2 (4*128) = log 2 512. Atsakymas yra 9.
2. log 4 8 = log 2 2 2 3 = 3/2 log 2 2 = 1,5 - kaip matote, naudojant ketvirtąją logaritmo laipsnio savybę, mums pavyko išspręsti iš pirmo žvilgsnio sudėtingą ir neišsprendžiamą išraišką. Pakanka tik koeficientuoti bazę ir išimti eksponentų reikšmes iš logaritmo ženklo.

Užduotys iš egzamino

Logaritmai dažnai aptinkami stojamuosiuose egzaminuose, ypač daug logaritminių uždavinių Vieningajame valstybiniame egzamine (valstybinis egzaminas visiems abiturientams). Paprastai šios užduotys pateikiamos ne tik A dalyje (lengviausia egzamino dalis), bet ir C dalyje (sunkiausios ir didžiausios užduotys). Egzaminas reiškia tikslią ir nepriekaištingą temos „Natūralūs logaritmai“ išmanymą.

Pavyzdžiai ir problemų sprendimas paimti iš oficialių egzamino versijų. Pažiūrėkime, kaip tokios užduotys sprendžiamos.

Duotas log 2 (2x-1) = 4. Sprendimas:
perrašykime išraišką, šiek tiek supaprastindami log 2 (2x-1) = 2 2 , pagal logaritmo apibrėžimą gauname, kad 2x-1 = 2 4 , todėl 2x = 17; x = 8,5.

• Visus logaritmus geriausia sumažinti iki tos pačios bazės, kad sprendimas nebūtų sudėtingas ir painus.
• Visos raiškos po logaritmo ženklu nurodomos kaip teigiamos, todėl išimant reiškinio, esančio po logaritmo ženklą, rodiklį ir kaip jo bazę, po logaritmu likusi išraiška turi būti teigiama.

Pamokos tikslas: kartoti mokinių žinias apie skaičiaus logaritmą, jo savybes; išmokti spręsti logaritmines lygtis ir jas konsoliduoti atliekant pratimus.

Užduotys:

Mokomasis: kartoti logaritmų apibrėžimą ir pagrindines savybes, mokėti jas taikyti skaičiuojant logaritmus, sprendžiant logaritmines lygtis;

Ugdomas: formuoti gebėjimą spręsti logaritmines lygtis;

Ugdomasis: ugdyti užsispyrimą, savarankiškumą; diegti susidomėjimą šia tema

Pamokos tipas: pamoka mokantis naujos medžiagos.

Reikalinga techninė įranga:kompiuteris, projektorius, ekranas.

Pamokos struktūra ir eiga:

1. Laiko organizavimas.

Mokytojas .

Sveiki, atsisėskite! Šiandien mūsų pamokos tema „Logaritminių lygčių sprendimas“, kurioje susipažinsime su jų sprendimo būdais naudojant logaritmų apibrėžimą ir savybes.(1 skaidrė)

1. žodinis darbas.

Logaritmo sampratos įtvirtinimas, pagrindinių jo savybių ir logaritminės funkcijos savybių pakartojimas:

1. Teorijos apšilimas:

1. Apibrėžkite logaritmą.(skaidr. Nr. 2)

2. Ar galima rasti bet kurio skaičiaus logaritmą?

3. Koks skaičius gali būti logaritmo pagrindu?

4. Funkcija y=log 0,8 x didėja ar mažėja?Kodėl?

5. Kokias reikšmes gali turėti logaritminė funkcija?

6. Kokie logaritmai vadinami dešimtainiais, natūraliaisiais?

7. Kokios yra pagrindinės logaritmų savybės.(3 skaidrė)

8. Ar galima pereiti nuo vieno logaritmo pagrindo prie kito? Kaip tai padaryti?(skaidrės numeris 4)

2. Darbas su kortele (3-4 mokiniai):

Kortelės numeris 1: Apskaičiuokite: a) žurnalą 6 4 + log 6 9 =

B) log 1/3 36 - log 1/3 12 =

Išspręskite lygtį: log 5 x \u003d 4 log 5 3 - 1/3 log 5 27

2 kortelė:

Apskaičiuokite: a) log211 - log244 =

B) log1/64 + log1/69 =

Išspręskite lygtį: log 7 x \u003d 2 log 7 5 + 1/2 log 7 36 - 1/3 log 7 125.

Priekinė klasės apklausa (burnos pratimai)

Apskaičiuokite: (skaidrės numeris 5)

Palyginti skaičius: (6 skaidrės numeris)

1. log ½ e ir log ½ π;
2. rąstas 2 √5/2 ir rąstas 2 √3/2.

Išsiaiškinkite išraiškos ženklą log 0,8 3 log 6 2/3. (skaidrės numeris 7)

1. Namų darbų tikrinimas:

Namui buvo priskirtos šios pratybos: Nr.327 (ne valandinis), 331 (ne valandinis), 333 (2) ir 390 (6). Patikrinkite šių užduočių atsakymus ir atsakykite į mokinių klausimus.

1. Naujos medžiagos mokymasis:

Apibrėžimas: Lygtis, kurioje yra kintamasis po logaritmo ženklu, vadinama logaritmine lygtimi.

Paprasčiausias logaritminės lygties pavyzdys yra lygtis
žurnalas a x \u003d c (a\u003e 0, a ≠ 1)
Logaritminių lygčių sprendimo būdai:(8 skaidrės numeris)

1. Lygčių sprendimas remiantis logaritmo apibrėžimu.(9 skaidrės numeris)

žurnalas a x = c (a > 0, a≠ 1) turi sprendinį x = a su .

Remiantis logaritmo apibrėžimu, išsprendžiamos lygtys, kuriose:

• atsižvelgiant į bazes ir skaičių, nustatomas logaritmas,
• Atsižvelgiant į logaritmą ir bazę, nustatomas skaičius
• bazė nustatoma pagal pateiktą skaičių ir logaritmą.

Pavyzdžiai:

log 2 128 = x, log 16 x = ¾, log x 27 = 3,

2 x \u003d 128, x \u003d 16 ¾, x 3 \u003d 27,

2 x \u003d 2 7, x \u003d 2 3, x 3 \u003d 3 3,

x \u003d 7. x = 8. x = 3.

a) žurnalas 7 (3x-1)=2 (atsakymas: x=3 1/3)

b) žurnalas 2 (7–8x)=2 (atsakymas: x=3/8).

1. stiprinimo metodas.(skaidrės numeris 10)

Potencijomis suprantamas perėjimas nuo lygybės, turinčios logaritmus, prie lygybės, kurioje jų nėra, t.y.

Log a f(x) = log a g(x), tada f(x) = g(x), su sąlyga, kad f(x)>0, g(x)>0, a>0, a≠ 1.

Pavyzdys:

Išspręskite lygtį =

ODZ:

3x-1>0; x>1/3

6x+8>0.

3x-1=6x+8

3x=9

x=-3

3 > 1/3 – neteisinga

Atsakymas: sprendimų nėra.

lg(x 2 -2) \u003d lg x (atsakymas: x \u003d 2)

1. Lygtys išspręstos taikant pagrindinį logaritminį tapatumą.(skaidrės numeris 11)

Pavyzdys:

Išspręskite lygtį=log 2 (6-x)

ODZ:

6-x>0;

x>0;

x≠1;

log 2 x 2 >0;

x 2 > 0.

Sisteminis sprendimas: (0;1)Ụ (1;6).

2 žurnalas (6 x)

x 2 = 6 x

x 2 + x-6 = 0

x=-3 nepriklauso ODZ.

x=2 priklauso ODZ.

Atsakymas: x=2

Su klase išspręskite šią lygtį:

= (atsakymas: x=1)

1. Metodas logaritmams sumažinti iki tos pačios bazės.(skaidr. Nr. 12)

Pavyzdys:

Išspręskite log lygtį 16 x+ log 4 x+ log 2 x=7

ODZ: x>0

¼ log 2 x+½ log 2 x+ log 2 x=7

7/4 log 2 x=7

žurnalas 2 x=4

х=16 – priklauso ODZ.

Atsakymas: x=16.

Išspręskite šią lygtį su klase:

3 (atsakymas: x=5/3)

1. Lygtys išspręstos taikant logaritmo savybes.(skaidr. Nr. 13)

Pavyzdys:

Išspręskite log lygtį 2 (x +1) - log 2 (x -2) = 2.

ODZ:

x+1>0;

x-2>0. x>1.

Naudojame koeficiento logaritmo logaritmų skirtumo transformavimo formulę, gauname log 2 = 2, iš kur seka= 4.

Išspręsdami paskutinę lygtį, randame x \u003d 3, 3\u003e 1 - dešinė

Atsakymas: x = 3.

Išspręskite šias lygtis su klase:

a) log 5 (x + 1) + log 5 (x +5) = 1 (atsakymas: x=0).

b) žurnalas 9 (37-12x) žurnalas 7-2x 3 = 1,

37-12x >0, x

7-2x >0, x

7-2x≠ 1; x≠ 3; x≠ 3;

9 rąstas (37-12x) / 3 rąstas (7-2x) = 1,

½ log 3 (37-12x) = log 3 (7-2x),

3 žurnalas (37–12x) = 3 žurnalas (7–2x) 2,

37–12 x \u003d 49–28 x + 4 x 2,

4x 2 -16x +12 \u003d 0,

X 2 -4x +3 \u003d 0, D \u003d 19, x 1 = 1, x 2 =3, 3 yra pašalinė šaknis.

Atsakymas: x=1 yra lygties šaknis.

C) lg (x 2 -6x + 9) - 2 lg (x - 7) = lg9.

(x 2 -6x + 9) > 0, x ≠ 3,

X-7 >0; x>7; x>7.

Lg ((x-3)/(x-7)) 2 = lg9

((x-3)/(x-7)) 2 = 9,

(x-3) / (x-7) \u003d 3, (x-3) / (x-7) \u003d - 3,

x-3 \u003d 3x -21, x -3 \u003d - 3x +21,

x=9. x=6 – pašalinė šaknis.

Patikra rodo 9 lygties šaknį.

Atsakymas: 9

1. Lygtys išspręstos įvedant naują kintamąjį.(skaidrės numeris 14)

Pavyzdys:

Išspręskite lg lygtį 2 x - 6lgx + 5 \u003d 0.

ODZ: x>0.

Tegu lgx = p, tada p 2 -6p+5=0.

p 1 =1, p 2 =5.

Grįžti į pakeitimą:

lgх = 1, lgх = 5

x=10, 10>0 – tiesa x=100000, 100000>0 – tiesa

Atsakymas: 10, 100 000

Išspręskite šią lygtį su klase:

Rąstas 6 2 x + rąstas 6 x +14 \u003d (√16 - x 2) 2 + x 2,

16 - x 2 ≥0; - 4≤ x ≤ 4;

X>0, x>0, O.D.Z. [ 0,4).

Rąstas 6 2 x + rąstas 6 x +14 \u003d 16 - x 2 + x 2,

Log 6 2 x + log 6 x -2 = 0

Pakeiskite rąstą 6 x = t

T 2 + t -2 \u003d 0; D=9; t 1 \u003d 1, t 2 \u003d -2.

6 žurnalas x = 1, x = 6 yra pašalinė šaknis.

6 žurnalas x=-2, x=1/36, patikrinimas rodo, kad 1/36 yra šaknis.

Atsakymas: 1/36.

1. Faktoringu išspręstos lygtys.(skaidrės numeris 15)

Pavyzdys:

Išspręskite log lygtį 4 (2x-1) ∙ log 4 x \u003d 2 log 4 (2x-1)

ODZ:

2x-1>0;

X>0. x> ½.

4 žurnalas (2x-1)∙ žurnalas 4 x - 2 žurnalas 4 (2x-1) = 0

log 4 (2x-1)∙ (log 4 x-2)=0

log 4 (2x-1)=0 arba log 4 x-2=0

2x-1 = 1 log 4 x = 2

x=1 x=16

1;16 - priklauso ODZ

Atsakymas: 1;16

Išspręskite šią lygtį su klase:

log 3 x ∙log 3 (3x-2) = log 3 (3x-2) (atsakymas: x = 1)

1. Abiejų lygties dalių logaritmo paėmimo metodas.(skaidrės numeris 16)

Pavyzdys:

Išspręskite lygtis

Paimkite abiejų lygties pusių logaritmą 3 bazėje.

Gauname 3 žurnalą = 3 žurnalą (3x)

gauname: rąstas 3 x 2 rąstas 3 x \u003d rąstas 3 (3x),

2log 3 x log 3 x = log 3 3+ log 3 x,

2 rąstas 3 2 x \u003d rąstas 3 x +1,

2 log 3 2 x - log 3 x -1 = 0,

pakeisti log 3 x = p, x > 0

2 p 2 + p -2 \u003d 0; D=9; p 1 \u003d 1, p 2 \u003d -1/2

3 žurnalas x = 1, x = 3,

log 3 x \u003d -1 / 2, x \u003d 1 / √3.

Atsakymas: 3; 1/√3

Išspręskite šią lygtį su klase:

Rąstas 2 x - 1

x \u003d 64 (atsakymas: x \u003d 8; x \u003d 1/4)

1. Funkcinis – grafinis metodas.(skaidr. Nr. 17)

Pavyzdys:

Išspręskite lygtis: log 3 x = 12 x.

Kadangi funkcija y = log 3 x didėja, o funkcija y \u003d 12 x mažėja (0; + ∞), tada duotoji lygtis šiame intervale turi vieną šaknį.

Sukurkime dviejų funkcijų grafikus vienoje koordinačių sistemoje: y = log 3 x ir y = 12 x.

Esant x=10, duotoji lygtis virsta teisinga skaitine lygybe 1=1. Atsakymas yra x=10.

Išspręskite šią lygtį su klase:

1-√x \u003d ln x (atsakymas: x \u003d 1).

1. Apibendrinimas, apmąstymas (išdalinkite apskritimus, ant kurių vaikinai pažymi savo nuotaiką paveikslėliu).(skaidrės numeris 18,19)

Nustatykite lygties sprendimo būdą:

1. Namų darbai: 340 (1), 393 (1), 395 (1.3), 1357 (1.2), 337 (1), 338 (1), 339 (1)

Literatūra

1. Riazanovskis, A.R. Matematika. 5–11 klasės: Papildoma medžiaga matematikos pamokai / A.R. Ryazanovskis, E.A. Zaicevas. - 2 leidimas, stereotipas. - M .: Bustard, 2002 m
2. Matematika. Laikraščio „Rugsėjo pirmoji“ priedas. 1997. Nr. 1, 10, 46, 48; 1998. Nr. 8, 16, 17, 20, 21, 47.
3. Skorkina, N.M. Nestandartinės popamokinio darbo formos. Vidurinei ir vidurinei mokyklai / N.M. Skorkinas. - Volgogradas: Mokytojas, 2004 m
4. Ziv, B.G., Goldich, V.A. Didaktinė medžiaga apie algebrą ir analizės principus 10 klasei./B.G.Ziv, V.A.Goldich. - 3 leidimas, pataisytas. – Sankt Peterburgas: „CheRo-on-Neva“, 2004 m
5. Algebra ir analizės užuomazgos: matematika technikos mokykloms / red. G.N.Jakovleva.-M.: Nauka, 1987 m

Peržiūra:

Norėdami naudoti pristatymų peržiūrą, susikurkite „Google“ paskyrą (paskyrą) ir prisijunkite: https://accounts.google.com

Skaidrių antraštės:

Logaritminių lygčių sprendimo metodai Matematikos mokytoja: Plotnikova T.V. MBOU "Suzdalio 1 vidurinė mokykla"

Apibrėžimas Teigiamojo skaičiaus b logaritmas bazei a, kur a>0, a≠1, yra toks eksponentas c, į kurį reikia pakelti a, kad gautumėte b.

Logaritmų savybės log a 1 = 0 log a a = 1 log a (x y)= log a x + log a y 3

4 pagrindinės perdavimo formulės

Apskaičiuokite: 5

Palyginkite 6

7 Nustatykite skaičiaus ženklą:

Pagrindiniai logaritminių lygčių sprendimo metodai

1. Naudodami logaritmo apibrėžimą l og 2 128= x log x 27= 3 Išspręskite šias lygtis: a) log 7 (3x-1)=2 b) log 2 (7-8x)=2 9

2. Potencavimo metodas Išspręskime tokią lygtį: lg (x 2 -2) = lg x 10 2

11 3. Lygtys, išspręstos taikant pagrindinį logaritminį tapatumą Išspręskime šią lygtį: 1

12 4 . Logaritmų sumažinimo iki tos pačios bazės metodas log 16 x + log 4 x + log 2 x = 7 Išspręskite šią lygtį:

13 5. Lygtys, išspręstos taikant logaritmo savybes log 2 (x +1) - log 2 (x -2) \u003d 2 Išsprendžiame tokias lygtis: a) l og 5 (x +1) + log 5 ( x +5) \u003d 1 b) log 9 (37-12x) log 7-2x 3 \u003d 1 c) lg (x 2 -6x + 9) - 2lg (x - 7) \u003d lg9 0 1 9

6. Lygtys, išspręstos įvedant naują kintamąjį l g 2 x - 6lgx +5 = 0 Išsprendžiame tokias lygtis: log 6 2 x + log 6 x +14 = (√16 - x 2) 2 + x 2 14

15 7. Lygtys, išspręstos faktoringo log 4 (2x-1)∙ log 4 x =2 log 4 (2x-1) Išspręskite šias lygtis: log 3 x ∙ log 3 (3x-2) = log 3 ( 3x-2) ) 1

8. Logaritmo metodas Išspręskime tokią lygtį: 16

9. Funkciškai – grafinis metodas log 3 x = 12-x Išspręskime šią lygtį: 17 1

Nustatyti lygties sprendimo būdą: Lygtis: Logaritmo perėjimo į kitą bazę nustatymo sprendimo būdas faktorizavimas potenciavimas naujo kintamojo perėjimo į kitą bazę įvedimas logaritmo savybių naudojimas logaritmo grafikas 18

Taip! Ir kas sugalvojo šias logaritmines lygtis! as galiu viska!!! Reikia dar poros pavyzdžių? 19 atspindys

Algebra 11 klasė

Tema: „Logaritminių lygčių sprendimo metodai“

Pamokos tikslai:

edukacinis: žinių apie įvairius logaritminių lygčių sprendimo būdus formavimas, gebėjimas jas taikyti kiekvienoje konkrečioje situacijoje ir pasirinkti bet kokį sprendimo būdą;

kuriant: gebėjimų stebėti, lyginti, taikyti žinias naujoje situacijoje, nustatyti modelius, apibendrinti ugdymas; savikontrolės ir savikontrolės įgūdžių formavimas;

edukacinis: ugdyti atsakingą požiūrį į ugdomąjį darbą, atidų pamokos medžiagos suvokimą, apskaitos tikslumą.

Pamokos tipas : susipažinimo su nauja medžiaga pamoka.

„Logaritmų išradimas, sutrumpinęs astronomo darbą, pailgino jo gyvenimą.
Prancūzų matematikas ir astronomas P.S. Laplasas

Per užsiėmimus

I. Pamokos tikslo nustatymas

Ištirtas logaritmo apibrėžimas, logaritmų savybės ir logaritminė funkcija leis išspręsti logaritmines lygtis. Visos logaritminės lygtys, kad ir kokios sudėtingos jos būtų, sprendžiamos naudojant tuos pačius algoritmus. Šiuos algoritmus aptarsime šiandien pamokoje. Jų nedaug. Jei juos įvaldysite, bet kokia logaritmų lygtis bus įmanoma kiekvienam iš jūsų.

Užsirašykite į sąsiuvinį pamokos temą: „Logaritminių lygčių sprendimo būdai“. Kviečiu visus bendradarbiauti.

II. Pagrindinių žinių atnaujinimas

Pasiruoškime studijuoti pamokos temą. Jūs išsprendžiate kiekvieną užduotį ir užsirašote atsakymą, negalite parašyti sąlygos. Dirbti porose.

1) Kokioms x reikšmėms funkcija prasminga:

a)

b)

in)

e)

(Kiekvienos skaidrės atsakymai tikrinami ir klaidos išrūšiuojamos)

2) Ar funkcijų grafikai sutampa?

a) y = x ir

b)ir

3) Perrašykite lygybes į logaritmines lygybes:

4) Parašykite skaičius kaip logaritmus su 2 baze:

4 =

2 =

0,5 =

1 =

5) Apskaičiuokite :

6) Pabandykite atkurti arba užbaigti trūkstamus elementus šiose lygybėse.

III. Įvadas į naują medžiagą

Ekrane rodomas pareiškimas:

"Lygtis yra auksinis raktas, kuris atrakina visą matematinį sezamą."
Šiuolaikinis lenkų matematikas S. Kovalis

Pabandykite suformuluoti logaritminės lygties apibrėžimą. (Lygtis, kurioje yra nežinomasis po logaritmo ženklu ).

ApsvarstykitePaprasčiausia logaritminė lygtis: žurnalas a x = b (kur a>0, a ≠ 1). Kadangi logaritminė funkcija didėja (arba mažėja) teigiamų skaičių aibėje ir įgauna visas realias reikšmes, iš šaknies teoremos išplaukia, kad bet kuriai b ši lygtis turi, be to, tik vieną sprendinį ir teigiamą.

Prisiminkite logaritmo apibrėžimą. (Skaičiaus x logaritmas iki pagrindo a yra eksponentas, iki kurio reikia pakelti bazę a, kad gautume skaičių x ). Iš logaritmo apibrėžimo iš karto išplaukia, kada in yra toks sprendimas.

Užsirašykite pavadinimą:Logaritminių lygčių sprendimo būdai

1. Pagal logaritmo apibrėžimą .

Taip susidaro paprasčiausios formos lygtys.

ApsvarstykiteNr. 514(a ): Išspręskite lygtį

Kaip siūlote ją išspręsti? (Pagal logaritmo apibrėžimą )

Sprendimas . , Vadinasi, 2x - 4 = 4; x = 4.

Atsakymas: 4.

Šioje užduotyje 2x - 4 > 0, nes> 0, todėl negali atsirasti pašalinių šaknų, irtikrinimas nebūtinas . Sąlygos 2x - 4 > 0 šioje užduotyje išrašyti nebūtina.

2. Potencija (perėjimas nuo pateiktos išraiškos logaritmo prie šios išraiškos).

ApsvarstykiteNr. 519(g): žurnalas 5 ( x 2 +8)- žurnalas 5 ( x+1)=3 žurnalas 5 2

Kokią savybę pastebėjote?(Pagrindai yra vienodi, o abiejų išraiškų logaritmai yra vienodi) . Ką galima padaryti?(galioja).

Šiuo atveju reikia atsižvelgti į tai, kad bet koks sprendimas yra tarp visų x, kurių logaritmų išraiškos yra teigiamos.

Sprendimas: ODZ:

X 2 +8>0 papildoma nelygybė

žurnalas 5 ( x 2 +8) = žurnalas 5 2 3 + žurnalas 5 ( x+1)

žurnalas 5 ( x 2 +8)= žurnalas 5 (8 x+8)

Sustiprinkite pradinę lygtį

x 2 +8= 8 x+8

gauname lygtįx 2 +8= 8 x+8

Išspręskime:x 2 -8 x=0

x=0, x=8

Atsakymas: 0; aštuoni

Apskritaipereiti prie lygiavertės sistemos :

Lygtis

(Sistemoje yra perteklinė sąlyga – vienos iš nelygybių galima nepaisyti).

Klausimas klasei : Kuris iš šių trijų sprendimų jums patiko labiausiai? (Metodų aptarimas).

Jūs turite teisę nuspręsti bet kokiu būdu.

3. Naujo kintamojo įvedimas .

ApsvarstykiteNr. 520 (g) . .

ką pastebėjai? (Tai kvadratinė log3x lygtis) Jūsų pasiūlymai? (Įvesti naują kintamąjį)

Sprendimas . ODZ: x > 0.

Leisti būti, tada lygtis bus tokia:. Diskriminantas D > 0. Šaknys pagal Vietos teoremą:.

Grįžti į pakeitimą:arba.

Išspręsdami paprasčiausias logaritmines lygtis, gauname:

; .

Atsakymas : 27;

4. Abiejų lygties pusių logaritmas.

Išspręskite lygtį:.

Sprendimas : ODZ: x>0, imame abiejų lygties pusių logaritmą 10 bazėje:

. Taikykite laipsnio logaritmo savybę:

(lgx + 3) lgx =

(lgx + 3) lgx = 4

Tegul lgx = y, tada (y + 3)y = 4

, (D > 0) šaknys pagal Vietos teoremą: y1 = -4 ir y2 = 1.

Grįžkime prie pakeitimo, gauname: lgx = -4,; logx = 1,. . Tai yra taip: jei viena iš funkcijų y = f(x) didėja ir kita y = g(x) mažėja intervale X, tada lygtis f(x)=g(x) turi daugiausia vieną šaknį intervale X .

Jei yra šaknis, tai galima atspėti. .

Atsakymas : 2

„Galima išmokti teisingai taikyti metodus,
tik pritaikius juos įvairiems pavyzdžiams.
Danų matematikos istorikas G. G. Zeitenas

aš V. Namų darbai

P. 39 apsvarstykite 3 pavyzdį, spręskite Nr. 514 (b), Nr. 529 (b), Nr. 520 (b), Nr. 523 (b)

V. Apibendrinant pamoką

Kokius logaritminių lygčių sprendimo būdus nagrinėjome pamokoje?

Kitose pamokose apžvelgsime sudėtingesnes lygtis. Norint juos išspręsti, naudingi tiriami metodai.

Rodoma paskutinė skaidrė:

„Kas yra daugiau už viską pasaulyje?
Erdvė.
Kas yra išmintingiausias?
Laikas.
Kas yra maloniausia?
Pasiekite tai, ko norite“.
Taliai

Noriu, kad kiekvienas pasiektų tai, ko nori. Dėkojame už bendradarbiavimą ir supratingumą.