대수를 사용하여 방정식을 풀면 근 예를 찾을 수 있습니다. 대수 방정식: 기본 공식 및 기술

많은 학생들이 이런 종류의 방정식에 갇혀 있습니다. 동시에 작업 자체는 결코 복잡하지 않습니다. 안정적인 표현을 분리하는 방법을 배워야 하는 유능한 변수 대체를 수행하는 것만으로도 충분합니다.

이 수업 외에도 각각 6개의 작업이 있는 두 가지 옵션으로 구성된 다소 방대한 독립 작업을 찾을 수 있습니다.

그룹화 방법

오늘 우리는 두 개의 대수 방정식을 분석할 것입니다. 그 중 하나는 "전체적으로" 풀 수 없고 특별한 변환이 필요하고 두 번째는 ... 그러나 한 번에 모든 것을 말하지는 않겠습니다. 비디오를 보고, 독립 작업을 다운로드하고, 복잡한 문제를 해결하는 방법을 배우십시오.

따라서 그룹화하고 괄호에서 공통 요소를 제거합니다. 또한 로그의 정의 영역에 어떤 함정이 있는지, 정의 영역에 대한 작은 설명이 어떻게 근과 전체 솔루션을 모두 크게 변경할 수 있는지 알려 드리겠습니다.

그룹화부터 시작하겠습니다. 다음 대수 방정식을 풀어야 합니다.

로그 2 x 로그 2(x − 3) + 1 = 로그 2(x 2 − 3x )

우선, 우리는 x 2 − 3x가 인수분해될 수 있음을 주목합니다:

로그 2 x (x − 3)

그런 다음 멋진 공식을 기억합니다.

log a fg = log a f + log a g

즉시 작은 참고 사항: 이 공식은 a, f 및 g가 일반 숫자일 때 잘 작동합니다. 그러나 그것들 대신 기능이 있을 때, 이 표현들은 더 이상 평등하지 않습니다. 다음과 같은 가상의 상황을 상상해 보십시오.

에프< 0; g < 0

이 경우 곱 fg는 양수이므로 log a( fg )는 존재하지만 log a f와 log a g는 별도로 존재하지 않으므로 이러한 변환을 수행할 수 없습니다.

이 사실을 무시하면 정의 영역이 좁아지고 결과적으로 뿌리를 잃게 됩니다. 따라서 이러한 변환을 수행하기 전에 함수 f와 g가 양수인지 미리 확인해야 합니다.

우리의 경우 모든 것이 간단합니다. 원래 방정식에 함수 log 2 x가 있으므로 x > 0입니다(결국 변수 x가 인수에 있음). log 2(x − 3)도 있으므로 x − 3 > 0입니다.

따라서 함수 log 2 x (x − 3)에서 각 인수는 0보다 큽니다. 따라서 제품을 합계로 안전하게 분해할 수 있습니다.

로그 2 x 로그 2(x − 3) + 1 = 로그 2 x + 로그 2(x − 3)

log 2 x log 2 (x − 3) + 1 − log 2 x − log 2 (x − 3) = 0

언뜻보기에 더 쉬워지지 않은 것처럼 보일 수 있습니다. 반대로 항의 수만 증가했습니다! 추가 진행 방법을 이해하기 위해 새로운 변수를 소개합니다.

로그 2 x = a

로그 2(x − 3) = b

a b + 1 - a - b = 0

이제 세 번째 항을 첫 번째 항과 그룹화합니다.

(a b - a) + (1 - b) = 0

a (1b - 1) + (1 - b ) = 0

첫 번째와 두 번째 대괄호 모두 b − 1을 포함합니다(두 번째 경우 대괄호에서 "마이너스"를 빼야 합니다). 우리의 구성을 인수 분해합시다.

a (1 b - 1) - (b - 1) = 0

(b - 1)(a 1 - 1) = 0

그리고 이제 우리는 우리의 놀라운 규칙을 기억합니다: 적어도 하나의 요소가 0과 같을 때 곱은 0입니다.

b − 1 = 0 ⇒ b = 1;

a − 1 = 0 ⇒ a = 1.

b와 a가 무엇인지 기억합시다. 우리는 두 개의 간단한 대수 방정식을 얻습니다. 남은 것은 로그 부호를 제거하고 인수를 동일시하는 것입니다.

로그 2 x = 1 ⇒ 로그 2 x = 로그 2 2 ⇒ x 1 =2;

로그 2(x − 3) = 1 ⇒ 로그 2(x − 3) = 로그 2 2 ⇒ x 2 = 5

우리는 두 개의 근을 얻었지만 이것은 원래 대수 방정식의 해가 아니라 답의 후보일 뿐입니다. 이제 도메인을 확인해 봅시다. 첫 번째 인수:

엑스 > 0

두 루트 모두 첫 번째 요구 사항을 충족합니다. 두 번째 인수로 넘어 갑시다.

x − 3 > 0 ⇒ x > 3

그러나 여기서 이미 x = 2는 우리를 만족시키지 못하지만 x = 5는 우리에게 아주 잘 맞습니다. 따라서 유일한 답은 x = 5입니다.

두 번째 대수 방정식으로 넘어갑니다. 언뜻 보면 훨씬 간단합니다. 그러나 그것을 해결하는 과정에서 우리는 정의의 영역과 관련된 미묘한 점들, 무지가 초보 학생들의 삶을 상당히 복잡하게 만드는 점들을 고려할 것입니다.

log 0.7(x 2 - 6x + 2) = log 0.7(7 - 2x)

우리 앞에는 대수 방정식의 정식 형식이 있습니다. 아무 것도 변환할 필요가 없습니다. 베이스도 동일합니다. 따라서 우리는 단순히 인수를 동일시합니다.

x 2 - 6x + 2 = 7 - 2x

x 2 - 6x + 2 - 7 + 2x = 0

x 2 - 4x - 5 = 0

우리 앞에는 주어진 이차 방정식이 있으며 Vieta 공식을 사용하여 쉽게 풀 수 있습니다.

(x - 5) (x + 1) = 0;

x − 5 = 0 ⇒ x = 5;

x + 1 = 0 ⇒ x = −1.

그러나 이러한 뿌리는 아직 결정적인 답이 아닙니다. 원래 방정식에는 두 개의 로그가 있기 때문에 정의 도메인을 찾는 것이 필요합니다. 즉, 정의 영역을 고려하는 것이 엄격히 필요합니다.

정의의 영역을 작성해 봅시다. 한편으로 첫 번째 로그의 인수는 0보다 커야 합니다.

x 2 − 6x + 2 > 0

반면에 두 번째 인수도 0보다 커야 합니다.

7 − 2배 > 0

이러한 요구 사항은 동시에 충족되어야 합니다. 그리고 여기서 가장 흥미로운 것이 시작됩니다. 물론 우리는 이러한 각각의 부등식을 풀고 교차하여 전체 방정식의 영역을 찾을 수 있습니다. 하지만 왜 자신의 삶을 그렇게 어렵게 만드나요?

하나의 미묘함에 주목합시다. 로그 기호를 제거하고 인수를 동일시합니다. 이는 요구 사항 x 2 − 6x + 2 > 0 및 7 − 2x > 0이 동일함을 의미합니다. 결과적으로 두 부등식 중 하나를 지울 수 있습니다. 가장 어려운 것은 지우고 일반적인 선형 부등식은 그대로 두십시오.

-2배 > -7

엑스< 3,5

양변을 음수로 나누었기 때문에 부등식의 부호가 변경되었습니다.

따라서 제곱 부등식, 판별식 및 교차점이 없는 ODZ를 찾았습니다. 이제 이 구간에 있는 근을 선택하는 일만 남았습니다. x = 5 > 3.5이기 때문에 분명히 x = −1만이 우리에게 적합할 것입니다.

답을 적어둘 수 있습니다. x = 1은 원래 대수 방정식에 대한 유일한 해입니다.

이 대수 방정식의 결론은 다음과 같습니다.

1. 로그를 인수분해하는 것을 두려워하지 말고 로그의 합을 인수분해하십시오. 그러나 곱을 두 로그의 합으로 나누면 정의 영역이 좁아집니다. 따라서 이러한 변환을 수행하기 전에 범위 요구 사항이 무엇인지 확인해야 합니다. 대부분의 경우 문제가 발생하지 않지만 다시 한 번 안전하게 플레이해도 문제가 되지 않습니다.
2. 정식 형식을 제거할 때 계산을 최적화하십시오. 특히 f > 0 및 g > 0이 필요하지만 방정식 자체에서 f = g인 경우 부등식 중 하나를 대담하게 제거하고 가장 간단한 부등식만 남깁니다. 이 경우 정의 및 답변의 영역은 전혀 손상되지 않지만 계산량은 크게 줄어듭니다.

사실 그게 그룹화에 대해 말하고 싶었던 전부입니다. :)

해결의 일반적인 실수

오늘 우리는 많은 학생들이 우연히 발견하는 두 가지 전형적인 대수 방정식을 분석할 것입니다. 이 방정식의 예에서 우리는 원래 표현을 풀고 변형하는 과정에서 가장 자주 발생하는 실수를 볼 것입니다.

대수를 사용한 분수 합리 방정식

이것은 분모 어딘가에 로그가 있는 분수가 항상 즉시 존재하지 않는 다소 교활한 유형의 방정식이라는 점에 바로 주목해야 합니다. 그러나 변형 과정에서 이러한 부분이 반드시 발생합니다.

동시에 조심하십시오: 변환 과정에서 로그 정의의 초기 영역이 크게 변경될 수 있습니다!

분수와 변수 밑을 포함하는 훨씬 더 엄격한 로그 방정식으로 전환합니다. 한 번의 짧은 수업에서 더 많은 것을 하기 위해 나는 초보적인 이론을 말하지 않을 것입니다. 작업으로 바로 이동하겠습니다.

4 log 25 (x − 1) − log 3 27 + 2 log x − 1 5 = 1

이 방정식을 보면 누군가 이렇게 물을 것입니다. “분수 합리적 방정식이 그것과 무슨 관련이 있습니까? 이 방정식에서 분수는 어디에 있습니까? 서두르지 말고 각 용어를 자세히 살펴 보겠습니다.

첫 항: 4 log 25 (x − 1). 로그의 밑은 숫자이지만 인수는 x의 함수입니다. 우리는 아직 이것에 대해 아무것도 할 수 없습니다. 계속하세요.

다음 항은 log 3 27입니다. 27 = 3 3임을 상기하십시오. 따라서 전체 로그를 다음과 같이 다시 쓸 수 있습니다.

로그 3 27 = 3 3 = 3

그래서 두 번째 항은 단지 3입니다. 세 번째 항: 2 log x − 1 5. 여기서도 모든 것이 단순하지는 않습니다. 밑은 함수이고 인수는 일반 숫자입니다. 다음 공식에 따라 전체 로그를 뒤집을 것을 제안합니다.

로그 a b = 1/로그 b a

이러한 변환은 b ≠ 1인 경우에만 수행할 수 있습니다. 그렇지 않으면 두 번째 분수의 분모에서 얻을 로그가 존재하지 않습니다. 우리의 경우 b = 5이므로 모든 것이 정상입니다.

2 log x − 1 5 = 2/log 5 (x − 1)

얻은 변환을 고려하여 원래 방정식을 다시 작성해 보겠습니다.

4 log 25(x − 1) − 3 + 2/ log 5(x − 1) = 1

분수의 분모에 log 5(x − 1)가 있고 첫 항에 log 25(x − 1)가 있습니다. 그러나 25 \u003d 5 2이므로 규칙에 따라 로그 밑에서 제곱을 꺼냅니다.

즉, 로그 밑의 지수는 앞의 분수가 됩니다. 그러면 표현식은 다음과 같이 다시 작성됩니다.

4 1/2 log 5 (x − 1) − 3 + 2/ log 5 (x − 1) − 1 = 0

우리는 많은 동일한 로그를 포함하는 긴 방정식으로 끝났습니다. 새 변수를 도입해 보겠습니다.

log 5(x-1) = t;

2t - 4 + 2/t = 0;

그러나 이것은 이미 8-9 등급의 대수학을 통해 해결되는 분수 합리적 방정식입니다. 먼저 두 가지로 나누어 보겠습니다.

t - 2 + 1/t = 0;

(t 2 - 2t + 1)/t = 0

정확한 정사각형은 괄호 안에 있습니다. 롤업합시다 :

(t - 1) 2 /t = 0

분수는 분자가 0이고 분모가 0이 아닌 경우 0입니다. 이 사실을 절대 잊지 마십시오.

(t - 1) 2 = 0

t=1

티 ≠ 0

t가 무엇인지 기억해 봅시다.

로그 5(x − 1) = 1

로그 5 (x − 1) = 로그 5 5

로그 부호를 제거하고 인수를 동일시하면 다음과 같은 결과를 얻습니다.

x − 1 = 5 ⇒ x = 6

여러분. 문제 해결됨. 그러나 원래 방정식으로 돌아가서 한 번에 x 변수가 있는 두 개의 로그가 있음을 기억해 봅시다. 따라서 정의 영역을 작성해야 합니다. x − 1이 로그 인수에 있으므로 이 표현식은 0보다 커야 합니다.

x − 1 > 0

한편, 동일한 x − 1이 밑에도 존재하므로 다음 중 하나와 달라야 합니다.

엑스 - 1 ≠ 1

따라서 우리는 다음과 같이 결론을 내립니다.

x > 1; x ≠ 2

이러한 요구 사항은 동시에 충족되어야 합니다. 값 x = 6은 두 요구 사항을 모두 충족하므로 x = 6이 대수 방정식의 최종 솔루션입니다.

두 번째 작업으로 넘어 갑시다.

다시 말하지만 서두르지 말고 각 용어를 살펴보겠습니다.

log 4 (x + 1) - 밑면에 4가 있습니다. 일반적인 숫자이며 만질 수 없습니다. 그러나 지난번에 우리는 대수 기호 아래에서 꺼내야하는 밑면의 정확한 사각형을 우연히 발견했습니다. 이제 똑같이 해봅시다:

로그 4(x + 1) = 1/2 로그 2(x + 1)

비결은 우리가 이미 변수 x 를 가진 로그를 가지고 있다는 것입니다. 비록 밑수이지만 그것은 우리가 방금 찾은 로그의 역수입니다:

8 로그 x + 1 2 = 8 (1/로그 2(x + 1)) = 8/로그 2(x + 1)

다음 항은 log 2 8입니다. 인수와 밑이 모두 일반 숫자이기 때문에 이것은 상수입니다. 값을 찾아봅시다:

로그 2 8 = 로그 2 2 3 = 3

우리는 마지막 로그로 같은 것을 할 수 있습니다:

이제 원래 방정식을 다시 작성해 보겠습니다.

1/2 log2(x + 1) + 8/log2(x + 1) - 3 - 1 = 0;

로그 2(x + 1)/2 + 8/로그 2(x + 1) − 4 = 0

모든 것을 공통 분모로 가져 갑시다.

우리 앞에는 다시 분수 합리 방정식이 있습니다. 새 변수를 도입해 보겠습니다.

t = 로그 2(x + 1)

새 변수를 고려하여 방정식을 다시 작성해 보겠습니다.

주의: 이 단계에서 용어를 바꿨습니다. 분수의 분자는 차이의 제곱입니다.

지난 시간과 마찬가지로 분수는 분자가 0이고 분모가 0이 아닌 경우 0입니다.

(t − 4) 2 = 0 ⇒ t = 4;

티 ≠ 0

모든 요구 사항을 충족하는 루트가 하나 있으므로 x 변수로 돌아갑니다.

log2(x + 1) = 4;

log2(x + 1) = log224;

x + 1 = 16;

x=15

그게 다야, 우리는 방정식을 풀었다. 그러나 원래 방정식에는 여러 개의 로그가 있으므로 정의 영역을 작성해야 합니다.

따라서 식 x + 1은 로그의 인수에 있습니다. 따라서 x + 1 > 0입니다. 반면에 x + 1도 밑으로 존재합니다. 즉, x + 1 ≠ 1. 합계:

0 ≠ x > −1

찾은 루트가 이러한 요구 사항을 충족합니까? 의심할 여지 없이. 따라서 x = 15는 원래 대수 방정식의 해입니다.

마지막으로 다음과 같이 말하고 싶습니다. 방정식을 보고 복잡하고 비표준적인 것을 해결해야 한다는 것을 이해했다면 나중에 다른 변수로 표시될 안정적인 구조를 강조하십시오. 일부 항이 변수 x를 전혀 포함하지 않는 경우 간단히 계산할 수 있습니다.

그것이 제가 오늘 이야기하고 싶었던 전부입니다. 이 수업이 복잡한 대수 방정식을 푸는 데 도움이 되기를 바랍니다. 다른 비디오 튜토리얼을 보고, 독립 작업을 다운로드하여 풀고, 다음 비디오에서 만나요!

수학은 과학 그 이상이다과학의 언어이다.

덴마크의 물리학자이자 공인인 Niels Bohr

대수 방정식

대표적인 업무 중, 입학 (경쟁) 시험에서 제공, 작업입니다, 대수 방정식의 해와 관련이 있습니다. 이러한 문제를 성공적으로 해결하기 위해서는 로그의 속성에 대한 충분한 지식과 응용 기술이 필요합니다.

이 기사에서는 먼저 로그의 기본 개념과 속성을 제시합니다., 그런 다음 대수 방정식을 푸는 예를 고려합니다.

기본 개념 및 속성

처음에는 로그의 주요 속성을 제시합니다., 이를 사용하면 상대적으로 복잡한 대수 방정식을 성공적으로 풀 수 있습니다.

기본 로그 항등식은 다음과 같이 작성됩니다.

, (1)

로그의 가장 유명한 속성은 다음 등식을 포함합니다.

1. , , 그리고 이면 , ,

2. , , , 이면 .

3. , , 및 이면 .

4. 만약 , , 그리고 자연수, 그 다음에

5. 만약 , , 그리고 자연수, 그 다음에

6. , , 및 이면 .

7. , , 및 이면 .

로그의 보다 복잡한 속성은 다음 문을 통해 공식화됩니다.

8. , , , 이면

9. , , 그리고 이면

10. , , , 그리고 이면

로그의 마지막 두 속성에 대한 증명은 저자의 교과서 "고등학생을 위한 수학: 학교 수학의 추가 섹션"(M.: Lenand / URSS)에 나와 있습니다., 2014).

또한 주목해야합니다그 기능 증가하고있다, if , 감소하는 경우 .

대수 방정식을 풀기 위한 문제의 예를 고려하십시오., 복잡도가 증가하는 순서대로 정렬됩니다.

문제 해결의 예

예 1. 방정식을 풀다

. (2)

결정.방정식 (2)에서 우리는 . 방정식을 다음과 같이 변환해 보겠습니다. , 또는 .

왜냐하면 , 식 (2)의 근은.

대답: .

예 2. 방정식을 풀다

결정. 방정식 (3)은 방정식과 동일합니다.

또는 .

여기에서 우리는 .

대답: .

예 3. 방정식을 풀다

결정. 방정식 (4)는 다음을 의미합니다., 무엇 . 기본 대수 항등식 사용(1), 쓸 수 있습니다

또는 .

우리가 넣으면 그런 다음 여기에서 우리는 이차 방정식을 얻습니다., 두 개의 뿌리를 가진그리고 . 그러나 따라서 방정식의 적절한 근오직 . 이후 , 그때 또는 .

대답: .

예 4. 방정식을 풀다

결정.변수의 유효 범위방정식 (5)에서.

하자 . 기능 이후정의 영역에서 감소하고 있습니다., 그리고 기능 전체 숫자 축에서 증가, 방정식 하나 이상의 루트를 가질 수 없습니다.

선택으로 우리는 유일한 뿌리를 찾습니다.

대답: .

실시예 5. 방정식을 풀다.

결정.방정식의 양쪽을 밑이 10인 로그로 취하면,

또는 .

에 대한 이차방정식을 풀면 과 를 얻습니다. 따라서 여기에 와 가 있습니다.

대답: , .

실시예 6. 방정식을 풀다

. (6)

결정.다음과 같이 항등식(1)과 변환 방정식(6)을 사용합니다.

또는 .

대답: , .

실시예 7. 방정식을 풀다

. (7)

결정.속성 9를 고려하면 . 이와 관련하여 방정식 (7)은 다음 형식을 취합니다.

여기에서 우리는 또는 .

대답: .

실시예 8. 방정식을 풀다

. (8)

결정.속성 9를 사용하고 방정식 (8)을 동일한 형식으로 다시 작성해 보겠습니다..

그런 다음 지정하면, 그런 다음 우리는 이차 방정식을 얻습니다., 어디 . 방정식 이후단 하나의 양의 뿌리를 가짐, 그런 다음 또는 . 이것은 .

대답: .

실시예 9. 방정식을 풀다

. (9)

결정. 수학식 9에서 따르기 때문에, 그럼 여기 . 속성 10에 따르면, 쓸 수 있습니다.

이와 관련하여 방정식 (9)는 방정식과 동일합니다.

또는 .

여기에서 방정식 (9)의 근을 얻습니다.

실시예 10. 방정식을 풀다

. (10)

결정.방정식 (10)의 변수에 허용되는 값의 범위는 . 속성 4에 따르면 여기에

. (11)

이후 , 방정식 (11)은 이차 방정식의 형태를 취합니다. 여기서 . 이차 방정식의 근은 및 입니다.

이후 , 그때 그리고 . 여기에서 우리는 및 .

대답: , .

실시예 11. 방정식을 풀다

. (12)

결정.그럼 표기하자 방정식 (12)는 다음 형식을 취합니다.

또는

. (13)

방정식 (13)의 근이 임을 쉽게 알 수 있습니다. 이 방정식에 다른 근이 없음을 보여줍시다. 이를 위해 두 부분을 나누어 동등한 방정식을 얻습니다.

. (14)

함수가 감소하고 전체 실제 축에서 함수가 증가하기 때문에 방정식 (14)는 하나 이상의 근을 가질 수 없습니다. 식(13)과 식(14)은 동일하므로 식(13)은 단일 루트 .

이후 , 그때 그리고 .

대답: .

실시예 12. 방정식을 풀다

. (15)

결정.와 를 나타내자. 정의 영역에서 함수가 감소하고 의 값에 대해 함수가 증가하므로 방정식은 Bode 단일 루트를 가질 수 없습니다. 직접 선택을 통해 방정식(15)의 원하는 근이 임을 확인합니다.

대답: .

실시예 13. 방정식을 풀다

. (16)

결정.로그의 속성을 사용하여 다음을 얻습니다.

그때부터 그리고 우리는 불평등이 있습니다

결과 부등식은 다음과 같은 경우에만 방정식 (16)과 일치합니다.

값 대체방정식 (16)에 우리는, 무엇 그것의 뿌리입니다.

대답: .

실시예 14. 방정식을 풀다

. (17)

결정.여기에서 , 방정식 (17)은 형식을 취합니다.

우리가 넣으면 여기에서 방정식을 얻습니다.

, (18)

어디 . 방정식 (18)은 다음을 의미합니다. 또는 . 이후 , 방정식에는 하나의 적절한 근이 있습니다. 그러나 따라서 .

실시예 15. 방정식을 풀다

. (19)

결정.를 나타내면 방정식 (19)는 다음과 같은 형식을 취합니다. 이 방정식의 밑이 3인 로그를 취하면 다음을 얻습니다.

또는

이것으로부터 그것은 다음과 같습니다. 이후 , 그때 그리고 . 이와 관련하여,

대답: , .

실시예 16. 방정식을 풀다

. (20)

결정. 매개변수를 소개하겠습니다.매개변수에 대해 방정식 (20)을 이차 방정식으로 다시 작성합니다., 즉.

. (21)

방정식 (21)의 근은 다음과 같습니다.

또는 , . 이후, 우리는 방정식과 . 여기에서 우리는 및 .

대답: , .

실시예 17. 방정식을 풀다

. (22)

결정.방정식 (22)에서 변수 정의 영역을 설정하려면 , 및 의 세 가지 부등식 집합을 고려해야 합니다.

속성 2 적용, 방정식 (22)에서 우리는

또는

. (23)

방정식 (23)에서 우리는, 그런 다음 방정식을 얻습니다.

. (24)

방정식 (24)는 다음과 같이 해결됩니다.

또는

여기에서 다음과 , 즉, 방정식 (24)에는 두 개의 근이 있습니다. 및 .

이후 , 그때 , 또는 , .

대답: , .

실시예 18. 방정식을 풀다

. (25)

결정.로그의 속성을 사용하여 식 (25)를 다음과 같이 변환합니다.

, , .

여기에서 우리는 .

실시예 19. 방정식을 풀다

. (26)

결정.그때부터 .

다음으로 . 결과적으로, 평등 (26)은 다음과 같은 경우에만 충족됩니다., 방정식의 양쪽이 동시에 2와 같을 때.

따라서 , 방정식 (26)은 방정식 시스템과 동일합니다.

우리가 얻는 시스템의 두 번째 방정식에서

또는 .

보기 쉽다무슨 뜻이야? 또한 시스템의 첫 번째 방정식을 만족합니다.

대답: .

대수 방정식을 푸는 방법에 대한 더 깊은 연구를 위해 권장 문헌 목록에서 자습서를 참조할 수 있습니다.

1. 쿠시니르 A.I. 학교 수학의 걸작 (두 권의 문제와 해결책). – 키예프: 아스타르테, 1권, 1995. - 576쪽.

2. 기술 대학 지원자를 위한 수학 문제집 / Ed. 미. 스카나비. -M .: 세계와 교육, 2013. - 608p.

3. 수프런 V.P. 고등학생을 위한 수학: 학교 커리큘럼의 추가 섹션. – M.: 레난드 / URSS, 2014. - 216p.

4. 수프런 V.P. 고등학생을 위한 수학: 복잡성이 증가한 과제. -M .: KD "Librocom"/ URSS, 2017. - 200p.

5. 수프런 V.P. 고등학생을 위한 수학: 문제 해결을 위한 비표준 방법. -M .: KD "Librocom"/ URSS, 2017. - 296p.

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대수 방정식의 해. 1 부.

대수 방정식미지수가 로그의 부호 아래(특히, 로그의 밑)에 포함되어 있는 방정식이라고 합니다.

원생 동물문 대수 방정식다음과 같이 보입니다.

로그 방정식 풀기로그에서 로그 기호 아래의 표현식으로의 전환을 포함합니다. 그러나이 작업은 방정식의 유효한 값 범위를 확장하고 외부 근이 나타날 수 있습니다. 외부 뿌리의 출현을 피하기 위해다음 세 가지 방법 중 하나로 할 수 있습니다.

1. 동등한 전환 만들기원래 방정식에서 다음을 포함하는 시스템으로

어떤 불평등 또는 더 쉬운 지에 따라.

방정식의 로그 밑에서 미지수를 포함하는 경우:

그런 다음 시스템으로 이동합니다.

2. 방정식의 허용 값 범위를 별도로 찾으십시오., 그런 다음 방정식을 풀고 찾은 솔루션이 방정식을 만족하는지 확인하십시오.

3. 방정식을 푼 다음 확인하십시오:찾은 솔루션을 원래 방정식으로 대체하고 올바른 평등을 얻는지 확인하십시오.

모든 수준의 복잡성에 대한 대수 방정식은 항상 가장 간단한 대수 방정식으로 축소됩니다.

모든 로그 방정식은 네 가지 유형으로 나눌 수 있습니다.

1 . 로그의 첫 번째 거듭제곱만 포함하는 방정식. 변형 및 사용의 도움으로 형태로 축소됩니다.

예시. 방정식을 풀어봅시다:

로그 기호 아래의 표현식을 동일시하십시오.

방정식의 근이 다음을 만족하는지 확인해 봅시다.

예, 만족합니다.

답: x=5

2 . 1 이외의 거듭제곱에 대한 로그를 포함하는 방정식(특히, 분수의 분모에서). 이 방정식은 다음을 사용하여 해결됩니다. 변수의 변화를 도입.

예시.방정식을 풀어봅시다:

ODZ 방정식을 찾아봅시다.

방정식에는 대수 제곱이 포함되어 있으므로 변수 변경을 사용하여 해결됩니다.

중요한! 교체를 도입하기 전에 로그의 속성을 사용하여 방정식의 일부인 로그를 "벽돌"로 "풀"해야 합니다.

로그를 "풀링"할 때 로그의 속성을 매우 신중하게 적용하는 것이 중요합니다.

또한 여기에 미묘한 위치가 하나 더 있으며 일반적인 실수를 피하기 위해 중간 등식을 사용합니다. 로그의 정도를 다음 형식으로 작성합니다.

비슷하게,

얻은 식을 원래 방정식에 대입합니다. 우리는 다음을 얻습니다.

이제 미지수가 의 일부로 방정식에 포함되어 있음을 알 수 있습니다. 교체품을 소개합니다: . 실제 값을 가질 수 있으므로 변수에 제한을 두지 않습니다.

학교 수학 수업에서 자주 고려되지 않지만 USE를 포함하여 경쟁 작업 준비에 널리 사용되는 몇 가지 유형의 로그 방정식을 고려해 봅시다.

1. 대수법으로 풀이된 방정식

밑과 지수 모두에 변수가 포함된 방정식을 풀 때 로그 방법이 사용됩니다. 또한 지수에 로그가 포함되어 있으면 방정식의 양변을 이 로그의 밑으로 로그화해야 합니다.

예 1

방정식을 풉니다: x log 2 x + 2 = 8.

결정.

밑이 2인 방정식의 좌변과 우변의 로그를 취합니다. 우리는 다음을 얻습니다.

로그 2(x 로그 2 x + 2) = 로그 2 8,

(로그 2 x + 2) 로그 2 x = 3.

log 2 x = t라고 하자.

그러면 (t + 2)t = 3이 됩니다.

티 2 + 2티 - 3 = 0.

디 \u003d 16. 티 1 \u003d 1; 티 2 \u003d -3.

따라서 log 2 x \u003d 1 및 x 1 \u003d 2 또는 log 2 x \u003d -3 및 x 2 \u003d 1/8

답변: 1/8; 2.

2. 균질 대수 방정식.

예 2

방정식 log 2 3 (x 2 - 3x + 4) - 3log 3 (x + 5) log 3 (x 2 - 3x + 4) - 2log 2 3 (x + 5) = 0을 풉니다.

결정.

방정식 영역

(x 2 - 3x + 4 > 0,
(x + 5 > 0. → x > -5.

x = -4인 경우 log 3(x + 5) = 0입니다. 검사를 통해 주어진 x 값이 원래 방정식의 근입니다. 따라서 방정식의 양변을 log 2 3 (x + 5)로 나눌 수 있습니다.

우리는 log 2 3 (x 2 - 3x + 4) / log 2 3 (x + 5) - 3 log 3 (x 2 - 3x + 4) / log 3 (x + 5) + 2 = 0을 얻습니다.

log 3(x 2 - 3x + 4) / log 3(x + 5) = t라고 합니다. 그런 다음 t 2 - 3 t + 2 = 0입니다. 이 방정식의 근은 1입니다. 2. 원래 변수로 돌아가서 두 방정식 세트를 얻습니다.

그러나 로그의 존재를 고려하여 (0; 9]의 값만 고려하면 된다. 이것은 좌변의 식은 x \u003d 1에서 가장 큰 값 2를 취한다는 것을 의미한다. 이제 다음을 고려한다. 함수 y \u003d 2 x-1 + 2 1-x t \u003d 2 x -1을 취하면 y = t + 1/t 형식을 취하며 여기서 t > 0입니다. 단일 임계점 t = 1을 가집니다. 이것이 최소점입니다. Y vin = 2. 그리고 x = 1에 도달합니다.

이제 고려한 함수의 그래프가 지점 (1; 2)에서 한 번만 교차할 수 있음이 분명합니다. x \u003d 1이 해결되는 방정식의 유일한 근이라는 것이 밝혀졌습니다.

답: x = 1.

예 5. 방정식 풀기 log 2 2 x + (x - 1) log 2 x \u003d 6 - 2x

결정.

log 2 x에 대해 이 방정식을 풀어봅시다. log 2 x = t라고 하자. 그런 다음 t 2 + (x - 1) t - 6 + 2x \u003d 0입니다.

D \u003d (x-1) 2-4 (2x-6) \u003d (x-5) 2. 티 1 \u003d -2; ~ 2 \u003d 3-x.

방정식 log 2 x \u003d -2 또는 log 2 x \u003d 3 - x를 얻습니다.

첫 번째 방정식의 근은 x 1 = 1/4입니다.

방정식 log 2 x \u003d 3 - x의 근은 선택으로 찾을 수 있습니다. 이 숫자는 2입니다. y \u003d log 2 x 함수가 전체 정의 영역에서 증가하고 y \u003d 3-x 함수가 감소하기 때문에 이 루트는 고유합니다.

확인하면 두 숫자가 방정식의 근임을 쉽게 확인할 수 있습니다.

답변: 1/4; 2.

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