근을 사용하여 대수 방정식을 푸는 예. 대수 방정식 풀기 - 마지막 강의

많은 학생들이 이런 종류의 방정식에 갇혀 있습니다. 동시에 작업 자체는 결코 복잡하지 않습니다. 안정적인 표현을 분리하는 방법을 배워야 하는 유능한 변수 대체를 수행하는 것만으로도 충분합니다.

이 수업 외에도 각각 6개의 작업이 있는 두 가지 옵션으로 구성된 다소 방대한 독립 작업을 찾을 수 있습니다.

그룹화 방법

오늘 우리는 두 개의 대수 방정식을 분석할 것입니다. 그 중 하나는 "전체적으로" 풀 수 없고 특별한 변환이 필요하고 두 번째는 ... 그러나 한 번에 모든 것을 말하지는 않겠습니다. 비디오를 보고, 독립 작업을 다운로드하고, 복잡한 문제를 해결하는 방법을 배우십시오.

따라서 그룹화하고 괄호에서 공통 요소를 제거합니다. 또한 로그의 정의 영역에 어떤 함정이 있는지, 정의 영역에 대한 작은 설명이 어떻게 근과 전체 솔루션을 모두 크게 변경할 수 있는지 알려드리겠습니다.

그룹화부터 시작하겠습니다. 다음 대수 방정식을 풀어야 합니다.

로그 2 x 로그 2(x − 3) + 1 = 로그 2(x 2 − 3x )

우선, 우리는 x 2 − 3x가 인수분해될 수 있음을 주목합니다:

로그 2 x (x − 3)

그런 다음 멋진 공식을 기억합니다.

log a fg = log a f + log a g

즉시 작은 참고 사항: 이 공식은 a, f 및 g가 일반 숫자일 때 잘 작동합니다. 그러나 그것들 대신 기능이 있을 때, 이 표현들은 더 이상 평등하지 않습니다. 다음과 같은 가상의 상황을 상상해 보십시오.

에프< 0; g < 0

이 경우 곱 fg는 양수이므로 log a( fg )는 존재하지만 log a f와 log a g는 별도로 존재하지 않으므로 이러한 변환을 수행할 수 없습니다.

이 사실을 무시하면 정의 영역이 좁아지고 결과적으로 뿌리를 잃게 됩니다. 따라서 이러한 변환을 수행하기 전에 함수 f와 g가 양수인지 미리 확인해야 합니다.

우리의 경우 모든 것이 간단합니다. 원래 방정식에 함수 log 2 x가 있으므로 x > 0입니다(결국 변수 x가 인수에 있음). log 2(x − 3)도 있으므로 x − 3 > 0입니다.

따라서 함수 log 2 x (x − 3)에서 각 인수는 0보다 큽니다. 따라서 제품을 합계로 안전하게 분해할 수 있습니다.

로그 2 x 로그 2(x − 3) + 1 = 로그 2 x + 로그 2(x − 3)

log 2 x log 2 (x − 3) + 1 − log 2 x − log 2 (x − 3) = 0

언뜻보기에 더 쉬워지지 않은 것처럼 보일 수 있습니다. 반대로 항의 수만 증가했습니다! 추가 진행 방법을 이해하기 위해 새로운 변수를 소개합니다.

로그 2 x = a

로그 2(x − 3) = b

a b + 1 - a - b = 0

이제 세 번째 항을 첫 번째 항과 그룹화합니다.

(a b - a) + (1 - b) = 0

a (1b - 1) + (1 - b ) = 0

첫 번째와 두 번째 대괄호 모두 b − 1을 포함합니다(두 번째 경우 대괄호에서 "마이너스"를 빼야 합니다). 우리의 구성을 인수 분해합시다.

a (1 b - 1) - (b - 1) = 0

(b - 1)(a 1 - 1) = 0

그리고 이제 우리는 우리의 놀라운 규칙을 기억합니다: 적어도 하나의 요소가 0과 같을 때 곱은 0입니다.

b − 1 = 0 ⇒ b = 1;

a − 1 = 0 ⇒ a = 1.

b와 a가 무엇인지 기억합시다. 우리는 두 개의 간단한 대수 방정식을 얻습니다. 남은 것은 로그 부호를 제거하고 인수를 동일시하는 것입니다.

로그 2 x = 1 ⇒ 로그 2 x = 로그 2 2 ⇒ x 1 =2;

로그 2(x − 3) = 1 ⇒ 로그 2(x − 3) = 로그 2 2 ⇒ x 2 = 5

우리는 두 개의 근을 얻었지만 이것은 원래 대수 방정식의 해가 아니라 답의 후보일 뿐입니다. 이제 도메인을 확인해 봅시다. 첫 번째 인수:

엑스 > 0

두 루트 모두 첫 번째 요구 사항을 충족합니다. 두 번째 인수로 넘어 갑시다.

x − 3 > 0 ⇒ x > 3

그러나 여기서 이미 x = 2는 우리를 만족시키지 못하지만 x = 5는 우리에게 아주 잘 맞습니다. 따라서 유일한 답은 x = 5입니다.

두 번째 대수 방정식으로 넘어갑니다. 언뜻 보면 훨씬 간단합니다. 그러나 그것을 해결하는 과정에서 우리는 정의의 영역과 관련된 미묘한 점들, 무지가 초보 학생들의 삶을 상당히 복잡하게 만드는 점들을 고려할 것입니다.

log 0.7(x 2 - 6x + 2) = log 0.7(7 - 2x)

우리 앞에는 대수 방정식의 정식 형식이 있습니다. 아무 것도 변환할 필요가 없습니다. 베이스도 동일합니다. 따라서 우리는 단순히 인수를 동일시합니다.

x 2 - 6x + 2 = 7 - 2x

x 2 - 6x + 2 - 7 + 2x = 0

x 2 - 4x - 5 = 0

우리 앞에는 주어진 이차 방정식이 있으며 Vieta 공식을 사용하여 쉽게 풀 수 있습니다.

(x - 5) (x + 1) = 0;

x − 5 = 0 ⇒ x = 5;

x + 1 = 0 ⇒ x = −1.

그러나 이러한 뿌리는 아직 결정적인 답이 아닙니다. 원래 방정식에는 두 개의 로그가 있기 때문에 정의 도메인을 찾는 것이 필요합니다. 즉, 정의 영역을 고려하는 것이 엄격히 필요합니다.

정의의 영역을 작성해 봅시다. 한편으로 첫 번째 로그의 인수는 0보다 커야 합니다.

x 2 − 6x + 2 > 0

반면에 두 번째 인수도 0보다 커야 합니다.

7 − 2배 > 0

이러한 요구 사항은 동시에 충족되어야 합니다. 그리고 여기서 가장 흥미로운 것이 시작됩니다. 물론 우리는 이러한 각각의 부등식을 풀고 교차하여 전체 방정식의 영역을 찾을 수 있습니다. 하지만 왜 자신의 삶을 그렇게 어렵게 만드나요?

하나의 미묘함에 주목합시다. 로그 기호를 제거하고 인수를 동일시합니다. 이는 요구 사항 x 2 − 6x + 2 > 0 및 7 − 2x > 0이 동일함을 의미합니다. 결과적으로 두 부등식 중 하나를 지울 수 있습니다. 가장 어려운 것은 지우고 일반적인 선형 부등식은 그대로 두십시오.

-2배 > -7

엑스< 3,5

양변을 음수로 나누었기 때문에 부등식의 부호가 변경되었습니다.

따라서 제곱 부등식, 판별식 및 교차점이 없는 ODZ를 찾았습니다. 이제 이 구간에 있는 근을 선택하는 일만 남았습니다. x = 5 > 3.5이기 때문에 분명히 x = −1만이 우리에게 적합할 것입니다.

답을 적어둘 수 있습니다. x = 1은 원래 대수 방정식에 대한 유일한 해입니다.

이 대수 방정식의 결론은 다음과 같습니다.

  1. 로그를 인수분해하는 것을 두려워하지 말고 로그의 합을 인수분해하십시오. 그러나 곱을 두 로그의 합으로 나누면 정의 영역이 좁아집니다. 따라서 이러한 변환을 수행하기 전에 범위 요구 사항이 무엇인지 확인해야 합니다. 대부분의 경우 문제가 발생하지 않지만 다시 한 번 안전하게 플레이해도 문제가 되지 않습니다.
  2. 정식 형식을 제거할 때 계산을 최적화하십시오. 특히 f > 0 및 g > 0이 필요하지만 방정식 자체에서 f = g인 경우 부등식 중 하나를 대담하게 제거하고 가장 간단한 부등식만 남깁니다. 이 경우 정의 및 답변의 영역은 전혀 손상되지 않지만 계산량은 크게 줄어듭니다.

사실 그게 그룹화에 대해 말하고 싶었던 전부입니다. :)

해결의 일반적인 실수

오늘 우리는 많은 학생들이 우연히 발견하는 두 가지 전형적인 대수 방정식을 분석할 것입니다. 이 방정식의 예에서 우리는 원래 표현을 풀고 변형하는 과정에서 가장 자주 발생하는 실수를 볼 것입니다.

대수를 사용한 분수 합리 방정식

이것은 분모 어딘가에 로그가 있는 분수가 항상 즉시 존재하지 않는 다소 교활한 유형의 방정식이라는 점에 바로 주목해야 합니다. 그러나 변형 과정에서 이러한 부분이 반드시 발생합니다.

동시에 조심하십시오: 변환 과정에서 로그 정의의 초기 영역이 크게 변경될 수 있습니다!

분수와 변수 밑을 포함하는 훨씬 더 엄격한 로그 방정식으로 전환합니다. 한 번의 짧은 수업에서 더 많은 것을 하기 위해 나는 초보적인 이론을 말하지 않을 것입니다. 작업으로 바로 이동하겠습니다.

4 log 25 (x − 1) − log 3 27 + 2 log x − 1 5 = 1

이 방정식을 보면 누군가 이렇게 물을 것입니다. “분수 합리적 방정식이 그것과 무슨 관련이 있습니까? 이 방정식에서 분수는 어디에 있습니까? 서두르지 말고 각 용어를 자세히 살펴 보겠습니다.

첫 항: 4 log 25 (x − 1). 로그의 밑은 숫자이지만 인수는 x의 함수입니다. 우리는 아직 이것에 대해 아무것도 할 수 없습니다. 계속하세요.

다음 항은 log 3 27입니다. 27 = 3 3임을 상기하십시오. 따라서 전체 로그를 다음과 같이 다시 쓸 수 있습니다.

로그 3 27 = 3 3 = 3

그래서 두 번째 항은 단지 3입니다. 세 번째 항: 2 log x − 1 5. 여기서도 모든 것이 단순하지는 않습니다. 밑은 함수이고 인수는 일반 숫자입니다. 다음 공식에 따라 전체 로그를 뒤집을 것을 제안합니다.

로그 a b = 1/로그 b a

이러한 변환은 b ≠ 1인 경우에만 수행할 수 있습니다. 그렇지 않으면 두 번째 분수의 분모에서 얻을 로그가 존재하지 않습니다. 우리의 경우 b = 5이므로 모든 것이 정상입니다.

2 log x − 1 5 = 2/log 5 (x − 1)

얻은 변환을 고려하여 원래 방정식을 다시 작성해 보겠습니다.

4 log 25(x − 1) − 3 + 2/ log 5(x − 1) = 1

분수의 분모에 log 5(x − 1)가 있고 첫 항에 log 25(x − 1)가 있습니다. 그러나 25 \u003d 5 2이므로 규칙에 따라 로그 밑에서 제곱을 꺼냅니다.

즉, 로그 밑의 지수는 앞의 분수가 됩니다. 그러면 표현식은 다음과 같이 다시 작성됩니다.

4 1/2 log 5 (x − 1) − 3 + 2/ log 5 (x − 1) − 1 = 0

우리는 많은 동일한 로그를 포함하는 긴 방정식으로 끝났습니다. 새 변수를 도입해 보겠습니다.

log 5(x-1) = t;

2t - 4 + 2/t = 0;

그러나 이것은 이미 8-9 등급의 대수학을 통해 해결되는 분수 합리적 방정식입니다. 먼저 두 가지로 나누어 보겠습니다.

t - 2 + 1/t = 0;

(t 2 - 2t + 1)/t = 0

정확한 정사각형은 괄호 안에 있습니다. 롤업합시다 :

(t - 1) 2 /t = 0

분수는 분자가 0이고 분모가 0이 아닌 경우 0입니다. 이 사실을 절대 잊지 마십시오.

(t - 1) 2 = 0

t=1

티 ≠ 0

t가 무엇인지 기억해 봅시다.

로그 5(x − 1) = 1

로그 5 (x − 1) = 로그 5 5

로그 부호를 제거하고 인수를 동일시하면 다음과 같은 결과를 얻습니다.

x − 1 = 5 ⇒ x = 6

여러분. 문제 해결됨. 그러나 원래 방정식으로 돌아가서 한 번에 x 변수가 있는 두 개의 로그가 있음을 기억해 봅시다. 따라서 정의 영역을 작성해야 합니다. x − 1이 로그 인수에 있으므로 이 표현식은 0보다 커야 합니다.

x − 1 > 0

한편, 동일한 x − 1이 밑에도 존재하므로 다음 중 하나와 달라야 합니다.

엑스 - 1 ≠ 1

따라서 우리는 다음과 같이 결론을 내립니다.

x > 1; x ≠ 2

이러한 요구 사항은 동시에 충족되어야 합니다. 값 x = 6은 두 요구 사항을 모두 충족하므로 x = 6이 대수 방정식의 최종 솔루션입니다.

두 번째 작업으로 넘어 갑시다.

다시 말하지만 서두르지 말고 각 용어를 살펴보겠습니다.

log 4 (x + 1) - 밑면에 4가 있습니다. 일반적인 숫자이며 만질 수 없습니다. 그러나 지난번에 우리는 대수 기호 아래에서 꺼내야하는 밑면의 정확한 사각형을 우연히 발견했습니다. 이제 똑같이 해봅시다:

로그 4(x + 1) = 1/2 로그 2(x + 1)

비결은 우리가 이미 변수 x 를 가진 로그를 가지고 있다는 것입니다. 비록 밑수이지만 그것은 우리가 방금 찾은 로그의 역수입니다:

8 로그 x + 1 2 = 8 (1/로그 2(x + 1)) = 8/로그 2(x + 1)

다음 항은 log 2 8입니다. 인수와 밑이 모두 일반 숫자이기 때문에 이것은 상수입니다. 값을 찾아봅시다:

로그 2 8 = 로그 2 2 3 = 3

우리는 마지막 로그로 같은 것을 할 수 있습니다:

이제 원래 방정식을 다시 작성해 보겠습니다.

1/2 log2(x + 1) + 8/log2(x + 1) - 3 - 1 = 0;

로그 2(x + 1)/2 + 8/로그 2(x + 1) − 4 = 0

모든 것을 공통 분모로 가져 갑시다.

우리 앞에는 다시 분수 합리 방정식이 있습니다. 새 변수를 도입해 보겠습니다.

t = 로그 2(x + 1)

새 변수를 고려하여 방정식을 다시 작성해 보겠습니다.

주의: 이 단계에서 용어를 바꿨습니다. 분수의 분자는 차이의 제곱입니다.

지난 시간과 마찬가지로 분수는 분자가 0이고 분모가 0이 아닌 경우 0입니다.

(t − 4) 2 = 0 ⇒ t = 4;

티 ≠ 0

모든 요구 사항을 충족하는 루트가 하나 있으므로 x 변수로 돌아갑니다.

log2(x + 1) = 4;

log2(x + 1) = log224;

x + 1 = 16;

x=15

그게 다야, 우리는 방정식을 풀었다. 그러나 원래 방정식에는 여러 개의 로그가 있으므로 정의 영역을 작성해야 합니다.

따라서 식 x + 1은 로그의 인수에 있습니다. 따라서 x + 1 > 0입니다. 반면에 x + 1도 밑으로 존재합니다. 즉, x + 1 ≠ 1. 합계:

0 ≠ x > −1

찾은 루트가 이러한 요구 사항을 충족합니까? 의심할 여지 없이. 따라서 x = 15는 원래 대수 방정식의 해입니다.

마지막으로 다음과 같이 말하고 싶습니다. 방정식을 보고 복잡하고 비표준적인 것을 해결해야 한다는 것을 이해했다면 나중에 다른 변수로 표시될 안정적인 구조를 강조하십시오. 일부 항이 변수 x를 전혀 포함하지 않는 경우 간단히 계산할 수 있습니다.

그것이 제가 오늘 이야기하고 싶었던 전부입니다. 이 수업이 복잡한 대수 방정식을 푸는 데 도움이 되기를 바랍니다. 다른 비디오 튜토리얼을 보고, 독립 작업을 다운로드하여 풀고, 다음 비디오에서 만나요!

대수 11학년

주제: "로그 방정식을 푸는 방법"

수업 목표:

교육적: 대수 방정식을 푸는 다양한 방법에 대한 지식 형성, 각각의 특정 상황에 적용하고 해결 방법을 선택하는 능력;

개발: 관찰, 비교, 새로운 상황에서 지식 적용, 패턴 식별, 일반화하는 기술 개발; 상호 통제 및 자기 통제 기술 형성;

교육적: 교육 작업에 대한 책임있는 태도 교육, 수업 자료에 대한 신중한 인식, 기록 보관의 정확성.

수업 유형: 새로운 자료에 익숙해지는 수업입니다.

"로그의 발명은 천문학자의 작업을 단축함으로써 그의 수명을 연장했습니다."
프랑스의 수학자이자 천문학자인 P.S. 라플라스

수업 중

I. 수업 목표 설정

로그의 정의, 로그의 속성 및 로그 함수를 통해 로그 방정식을 풀 수 있습니다. 모든 대수 방정식은 아무리 복잡하더라도 동일한 알고리즘을 사용하여 해결됩니다. 오늘 수업에서 이러한 알고리즘을 고려할 것입니다. 그들 중 몇 가지가 있습니다. 당신이 그들을 마스터하면 로그가있는 모든 방정식이 당신 각자에게 가능할 것입니다.

공책에 "대수 방정식을 푸는 방법"이라는 수업 주제를 적으십시오. 나는 모두가 협력하도록 초대합니다.

II. 기본 지식 업데이트

수업 주제를 공부할 준비를합시다. 각 과제를 풀고 답을 적으면 조건을 적을 수 없습니다. 쌍으로 작업하십시오.

1) x의 어떤 값에 대해 함수가 의미가 있습니까?

(슬라이드별 정답 확인 및 오류 정리)

2) 함수 그래프가 일치합니까?

3) 등식을 대수 등식으로 다시 작성하십시오.

4) 밑이 2인 로그로 숫자를 씁니다.

5) 계산:

6) 이러한 평등에서 빠진 요소를 복원하거나 완성하려고 노력하십시오.

III. 신소재 소개

진술이 화면에 표시됩니다.

"방정식은 모든 수학적 참깨를 여는 황금 열쇠입니다."
현대 폴란드 수학자 S. Koval

대수 방정식의 정의를 공식화하십시오. (대수 부호 아래에 미지수를 포함하는 방정식).

고려하다 가장 간단한 대수 방정식:통나무ㅏx = b(여기서 a>0, a ≠ 1). 로그 함수는 양수 집합에서 증가(또는 감소)하고 모든 실제 값을 취하기 때문에 모든 b에 대해 이 방정식에는 하나의 솔루션과 양수 솔루션만 있다는 근본 정리를 따릅니다.

로그의 정의를 기억하십시오. (밑수 a에 대한 숫자 x의 로그는 숫자 x를 얻기 위해 밑수 a를 올려야 하는 지수입니다). 다음은 로그의 정의에서 바로 이어집니다. ㅏ안에그런 솔루션입니다.

제목을 적으십시오: 대수 방정식을 푸는 방법

1. 로그의 정의에 따라.

이것이 형식의 간단한 방정식을 푸는 방법입니다.

고려하다 514(a): 방정식 풀기

그것을 해결하기 위해 어떻게 제안합니까? (대수의 정의에 따라)

결정. , 따라서 2x - 4 = 4; 엑스 = 4.

이 작업에서는 2x - 4 > 0이므로 > 0이므로 외부 근이 나타날 수 없으며 확인할 필요가 없습니다. 2x - 4 > 0 조건은 이 작업에서 작성하는 데 필요하지 않습니다.

2. 강화(주어진 표현식의 로그에서 이 표현식 자체로 전환).

고려하다 519(g): log5(x2+8)-log5(x+1)=3log5 2

어떤 기능을 알아차렸나요? (밑이 같고 두 식의 로그가 같습니다.) 무엇을 할 수 있습니까? (강화).

이 경우, 로그 표현이 양수인 모든 x 중에 임의의 해가 포함된다는 점을 고려해야 합니다.

해결책: ODZ:

X2+8>0 추가 부등식

log5(x2+8) = log5 23+ log5(x+1)

log5(x2+8)=log5(8x+8)

원래 방정식을 강화

방정식 x2+8= 8x+8을 얻습니다.

우리는 그것을 해결합니다: x2-8x=0

답변: 0; 여덟

일반적으로 동등한 시스템으로 전환:

방정식

(시스템에는 중복 조건이 포함되어 있습니다. 부등식 중 하나는 무시할 수 있습니다.)

수업에 대한 질문: 이 세 가지 솔루션 중 가장 마음에 들었던 솔루션은 무엇입니까? (방법에 대한 논의).

당신은 어떤 식으로든 결정할 권리가 있습니다.

3. 새로운 변수의 도입.

고려하다 520(g)호. .

당신은 무엇을 알아 차렸습니까? (이것은 log3x에 대한 2차 방정식입니다.) 어떤 제안이 있습니까? (새로운 변수 도입)

결정. ODZ: x > 0.

하자 , 방정식은 다음 형식을 취합니다. 판별 D > 0. 비에타의 정리에 의한 근:.

교체로 돌아가 보겠습니다. 또는 .

가장 간단한 대수 방정식을 풀면 다음을 얻습니다.

답변: 27;

4. 방정식 양변의 로그.

방정식을 풀다:.

솔루션: ODZ: x>0, 밑이 10인 등식의 양변에 로그를 취합니다.

정도의 로그 속성을 적용합니다.

(lgx + 3) LGx = 4

lgx = y라고 하면 (y + 3)y = 4

, (D > 0) Vieta 정리에 따른 근: y1 = -4 및 y2 = 1.

교체로 돌아가서 다음을 얻습니다. lgx = -4,; logx = 1, .

답변: 0.0001; 10.

5. 하나의 기지로 축소.

523(c)호. 방정식을 풉니다.

솔루션: ODZ: x>0. 베이스 3으로 넘어가자.

6. 기능적 그래픽 방법.

№ 509(d).방정식을 그래픽으로 풉니다: = 3 - x.

어떻게 해결할 것을 제안합니까? (점으로 두 함수 y \u003d log2x 및 y \u003d 3-x의 그래프를 구성하고 그래프 교차점의 가로 좌표를 찾습니다).

슬라이드에서 솔루션을 참조하십시오.

음모를 피하는 방법이 있습니까 . 다음과 같다 : 기능 중 하나인 경우와이 = 에프(엑스) 증가하고 다른 y = 지(엑스) 구간 X에서 감소하면 방정식에프(엑스)=지(엑스) 구간 X에서 최대 하나의 근을 가짐.

루트가 있으면 추측할 수 있습니다.

우리의 경우 함수는 x>0에 대해 증가하고 함수 y \u003d 3-x는 x>0을 포함하여 x의 모든 값에 대해 감소합니다. 이는 방정식에 루트가 하나 이상 없음을 의미합니다. x = 2인 경우 방정식은 .

“방법의 올바른 적용은 배울 수 있고,
다양한 예제에 적용하는 것만으로도 충분합니다.
덴마크의 수학 역사가 G. G. Zeiten

나V. 숙제

P. 39 예제 3, No. 514 (b), No. 529 (b), No. 520 (b), No. 523 (b)를 고려하십시오.

V. 수업 요약

수업에서 대수 방정식을 푸는 방법은 무엇입니까?

다음 단원에서는 더 복잡한 방정식을 살펴보겠습니다. 이를 해결하기 위해 연구된 방법이 유용합니다.

마지막 슬라이드 표시:

“세상에서 무엇보다 중요한 것이 무엇입니까?
공간.
가장 현명한 것은 무엇입니까?
시간.
가장 즐거운 것은 무엇입니까?
원하는 것을 이루세요."
탈레스

나는 모두가 원하는 것을 성취하기를 바랍니다. 귀하의 협조와 이해에 감사드립니다.

아시다시피 식에 거듭제곱을 곱하면 지수가 항상 더해집니다(a b * a c = a b + c). 이 수학적 법칙은 아르키메데스에 의해 유도되었으며, 나중에 8세기에 수학자 Virasen이 정수 지표 표를 만들었습니다. 대수의 추가 발견을 위해 봉사 한 것은 바로 그들이었습니다. 이 함수를 사용하는 예는 번거로운 곱셈을 간단한 덧셈으로 단순화하는 데 필요한 거의 모든 곳에서 찾을 수 있습니다. 이 기사를 읽는 데 10분을 할애하면 로그가 무엇이며 로그를 사용하는 방법을 설명합니다. 간단하고 접근하기 쉬운 언어.

수학의 정의

로그는 다음 형식의 표현입니다. log a b=c, 즉 음수가 아닌 숫자(즉, 양수) "b"의 밑수 "a"에 따른 로그는 "c의 거듭제곱으로 간주됩니다. ", 기본 "a"를 올릴 필요가 있으므로 결국 "b"값을 얻습니다. 예를 사용하여 로그를 분석해 봅시다. log 2 8이라는 표현이 있다고 가정해 보겠습니다. 답을 찾는 방법은 무엇입니까? 그것은 매우 간단합니다. 2에서 필요한 정도까지 8을 얻는 정도를 찾아야합니다. 마음 속으로 몇 가지 계산을하면 숫자 3을 얻습니다! 그리고 2의 3제곱이 답에서 숫자 8을 제공하기 때문에 당연히 그렇습니다.

로그의 종류

많은 학생과 학생들에게이 주제는 복잡하고 이해하기 어려운 것처럼 보이지만 실제로 로그는 그렇게 무섭지 않으며 가장 중요한 것은 일반적인 의미를 이해하고 속성과 일부 규칙을 기억하는 것입니다. 로그 표현식에는 세 가지 종류가 있습니다.

  1. 밑이 오일러 수(e = 2.7)인 자연 로그 ln a입니다.
  2. 밑이 10인 십진법 a.
  3. 임의의 숫자 b의 밑수 a>1의 로그.

그들 각각은 로그 정리를 사용하여 단순화, 축소 및 후속 로그 축소를 포함하여 표준 방식으로 해결됩니다. 로그의 올바른 값을 얻으려면 결정의 속성과 작업 순서를 기억해야 합니다.

규칙 및 일부 제한 사항

수학에는 공리로 받아 들여지는 몇 가지 규칙 제한이 있습니다. 즉, 토론의 대상이 아니며 사실입니다. 예를 들어 숫자를 0으로 나누는 것은 불가능하며 음수에서 짝수 근을 추출하는 것도 불가능합니다. 로그에는 또한 고유한 규칙이 있으며, 이에 따라 길고 방대한 로그 표현식으로도 작업하는 방법을 쉽게 배울 수 있습니다.

  • 기본 "a"는 항상 0보다 커야 하며 동시에 1과 같지 않아야 합니다. 그렇지 않으면 "1"과 "0"이 항상 해당 값과 같기 때문에 표현식의 의미가 손실됩니다.
  • a > 0이면 a b > 0이면 "c"는 0보다 커야 합니다.

대수를 푸는 방법?

예를 들어 방정식 10 x \u003d 100에 대한 답을 찾는 작업이 주어졌습니다. 매우 쉽습니다. 그러한 힘을 선택하여 100을 얻는 숫자 10을 올려야합니다. 물론 이것은 10입니다. 2 \u003d 100.

이제 이 식을 대수 식으로 표현해 봅시다. 우리는 log 10 100 = 2를 얻습니다. 로그를 풀 때 모든 작업은 실제로 주어진 숫자를 얻기 위해 로그의 밑이 입력되어야 하는 정도를 찾는 것으로 수렴됩니다.

알 수 없는 학위의 가치를 정확하게 결정하려면 학위 표로 작업하는 방법을 배워야 합니다. 다음과 같습니다.

보시다시피 기술적 사고 방식과 구구단에 대한 지식이 있으면 일부 지수를 직관적으로 추측할 수 있습니다. 그러나 더 큰 값에는 파워 테이블이 필요합니다. 복잡한 수학적 주제에 대해 전혀 이해하지 못하는 사람들도 사용할 수 있습니다. 왼쪽 열에는 숫자(밑수 a)가 포함되어 있고 숫자의 맨 위 행은 숫자 a가 올라간 c의 거듭제곱 값입니다. 셀의 교차점에서 답인 숫자 값이 결정됩니다 (a c =b). 예를 들어 숫자가 10인 첫 번째 셀을 제곱하면 두 셀의 교차점에 표시되는 값 100을 얻습니다. 가장 진정한 인본주의자도 이해할 수 있도록 모든 것이 너무 간단하고 쉽습니다!

방정식과 부등식

특정 조건에서 지수는 로그임이 밝혀졌습니다. 따라서 모든 수학적 수치 표현은 대수 방정식으로 쓸 수 있습니다. 예를 들어, 3 4 =81은 밑이 3인 81의 로그로 쓸 수 있습니다(log 3 81 = 4). 음의 거듭제곱의 경우 규칙은 동일합니다. 2 -5 = 1/32 로그로 쓰면 log 2(1/32) = -5가 됩니다. 수학에서 가장 매력적인 부분 중 하나는 "로그"라는 주제입니다. 속성을 연구 한 직후 방정식의 예와 솔루션을 조금 더 낮게 고려할 것입니다. 이제 불평등이 어떻게 생겼는지, 방정식과 어떻게 구별하는지 살펴보겠습니다.

다음 형식의 표현이 제공됩니다. log 2 (x-1) > 3 - 알 수 없는 값 "x"가 로그 부호 아래에 있으므로 로그 부등식입니다. 그리고 또한 표현에서 두 개의 양이 비교됩니다: 밑이 2인 원하는 숫자의 로그는 숫자 3보다 큽니다.

대수 방정식과 부등식의 가장 중요한 차이점은 로그가 있는 방정식(예: 2 x = √9의 로그)은 답에 하나 이상의 특정 수치를 의미하는 반면, 부등식을 풀 때 두 범위는 허용 가능한 값과 이 기능을 깨는 지점. 결과적으로 답은 방정식의 답에서와 같이 개별 숫자의 단순한 집합이 아니라 연속적인 일련의 숫자 또는 집합입니다.

로그에 대한 기본 정리

로그 값을 찾는 기본 작업을 해결할 때 그 속성을 알 수 없습니다. 그러나 대수 방정식이나 부등식에 관해서는 우선 로그의 모든 기본 속성을 명확하게 이해하고 실제로 적용하는 것이 필요합니다. 나중에 방정식의 예에 대해 알게 될 것입니다. 먼저 각 속성을 더 자세히 분석해 보겠습니다.

  1. 기본 항등식은 다음과 같습니다: a logaB =B. a가 0보다 크고 1이 아니고 B가 0보다 큰 경우에만 적용됩니다.
  2. 곱의 로그는 다음 공식으로 나타낼 수 있습니다. log d (s 1 * s 2) = log d s 1 + log d s 2. 이 경우 전제 조건은 d, s 1 및 s 2 > 0입니다. ≠1. 이 로그 공식에 대한 증명을 예제와 솔루션과 함께 제공할 수 있습니다. log a s 1 = f 1 및 log a s 2 = f 2 라고 하면 a f1 = s 1 , a f2 = s 2입니다. 우리는 s 1 *s 2 = a f1 *a f2 = a f1+f2(도 속성 ), 정의에 따르면 log a (s 1 *s 2)= f 1 + f 2 = log a s1 + log a s 2, 이는 증명되어야 합니다.
  3. 몫의 로그는 다음과 같습니다: log a (s 1 / s 2) = log as 1 - log as 2.
  4. 공식 형식의 정리는 다음 형식을 취합니다: log a q b n = n/q log a b.

이 공식을 "대수 정도의 속성"이라고 합니다. 그것은 보통 정도의 속성과 비슷하며 모든 수학이 규칙적인 가정에 의존하기 때문에 놀라운 일이 아닙니다. 증거를 살펴보자.

log a b \u003d t라고 하면 a t \u003d b가 됩니다. 두 부분을 m의 거듭제곱으로 올리면: a tn = b n ;

그러나 a tn = (a q) nt/q = b n 이므로 log a q b n = (n*t)/t이면 log a q b n = n/q log a b입니다. 정리가 입증되었습니다.

문제와 불평등의 예

로그 문제의 가장 일반적인 유형은 방정식과 부등식의 예입니다. 거의 모든 문제집에서 찾을 수 있으며 수학 시험의 필수 부분에도 포함됩니다. 대학에 입학하거나 수학 입학 시험에 합격하려면 이러한 문제를 올바르게 해결하는 방법을 알아야 합니다.

불행하게도 로그의 알려지지 않은 값을 풀고 결정하기 위한 단일한 계획이나 체계는 없지만, 각각의 수학적 부등식이나 로그 방정식에 일정한 규칙이 적용될 수 있습니다. 우선 그 표현을 단순화할 수 있는지 일반적인 형태로 줄일 수 있는지를 확인해야 합니다. 속성을 올바르게 사용하면 긴 대수식을 단순화할 수 있습니다. 곧 그들을 알게합시다.

로그 방정식을 풀 때 우리 앞에 어떤 종류의 로그가 있는지 결정해야 합니다. 표현식의 예에는 자연 로그 또는 십진수가 포함될 수 있습니다.

다음은 ln100, ln1026의 예입니다. 그들의 해결책은 기본 10이 각각 100과 1026이 되는 정도를 결정해야 한다는 사실로 귀결됩니다. 자연 로그 솔루션의 경우 로그 항등식 또는 해당 속성을 적용해야 합니다. 다양한 유형의 대수 문제를 푸는 예를 살펴보겠습니다.

대수 공식을 사용하는 방법: 예제 및 솔루션 포함

따라서 대수에 주요 정리를 사용하는 예를 살펴보겠습니다.

  1. 곱의 대수 속성은 숫자 b의 큰 값을 더 간단한 요인으로 분해해야 하는 작업에 사용할 수 있습니다. 예를 들어, log 2 4 + log 2 128 = log 2 (4*128) = log 2 512입니다. 답은 9입니다.
  2. log 4 8 = log 2 2 2 3 = 3/2 log 2 2 = 1.5 - 보시다시피 대수 정도의 네 번째 속성을 사용하여 복잡하고 풀 수 없는 표현을 한 눈에 풀었습니다. 밑을 인수 분해 한 다음 로그 부호에서 지수 값을 취하면됩니다.

시험에서 과제

로그는 입학 시험에서 자주 발견되며, 특히 통합 상태 시험(모든 학교 졸업생을 위한 상태 시험)에서 많은 로그 문제가 발생합니다. 일반적으로 이러한 작업은 파트 A(시험에서 가장 쉬운 테스트 부분)뿐만 아니라 파트 C(가장 어렵고 방대한 작업)에도 있습니다. 시험은 "자연 로그" 주제에 대한 정확하고 완벽한 지식을 의미합니다.

예제와 문제 해결은 시험의 공식 버전에서 가져옵니다. 그러한 작업이 어떻게 해결되는지 봅시다.

주어진 로그 2(2x-1) = 4. 솔루션:
식을 다시 작성하여 조금 단순화합니다. x = 8.5.

  • 솔루션이 번거롭거나 혼란스럽지 않도록 모든 로그는 동일한 밑으로 가장 잘 축소됩니다.
  • 로그 부호 아래의 모든 식은 양수로 나타내므로, 로그 부호 아래에 있는 식의 지수의 지수를 빼서 밑으로 할 때, 로그 아래에 남은 식이 양수여야 한다.

성명

플로트니코바 타티아나 블라디미로브나

일하는 장소

MBOU "수즈달 제1중등학교"

직함

수학 교사

안건

대수학과 수학적 분석의 시작

수업

강의 주제

"대수 방정식을 푸는 방법", 2시간

기본 튜토리얼

Sh.A. Alimov, Yu.M. Kolyagin 외 / M. Education 2014

수업의 목적: 숫자의 대수, 속성에 대한 학생들의 지식을 반복합니다. 대수 방정식을 풀고 연습할 때 통합하는 방법을 배웁니다.

작업:

교육: 로그의 정의와 기본 속성을 반복하고, 로그를 계산하고 로그 방정식을 풀 때 적용할 수 있습니다.

개발 중: 대수 방정식을 푸는 능력을 형성합니다.

교육적: 인내와 독립성을 기르기 위해; 주제에 대한 흥미를 불러일으키다

수업 유형: 수업 학습 새로운 자료.

필요한 기술 장비:컴퓨터, 프로젝터, 스크린.

수업의 구조와 과정:

  1. 정리 시간.

선생님 .

안녕하세요, 앉으세요! 오늘 우리 수업의 주제는 "대수 방정식의 해"입니다. 여기서 우리는 로그의 정의와 속성을 사용하여 해결하는 방법에 대해 알게 될 것입니다.(슬라이드 번호 1)

  1. 구두 작업.

대수 개념의 통합, 기본 속성의 반복 및 대수 함수의 속성:

1. 이론 워밍업:

1. 로그를 정의합니다.(슬라이드 번호 2)

2. 모든 숫자의 로그를 찾는 것이 가능합니까?

3. 로그 밑이 될 수 있는 숫자는 무엇입니까?

4. 함수 y=log 0.8 x가 증가 또는 감소하는 이유는 무엇입니까?

5. 대수 함수는 어떤 값을 취할 수 있습니까?

6. 십진수, 자연수라고하는 로그는 무엇입니까?

7. 로그의 주요 속성은 무엇입니까?(슬라이드 번호 3)

8. 로그의 한 밑에서 다른 밑으로 이동할 수 있습니까? 그것을하는 방법?(슬라이드 번호 4)

2. 카드 작업(학생 3-4명):

카드 번호 1: 계산: a) 로그 6 4 + 로그 6 9 =

B) 로그 1/3 36 - 로그 1/3 12 =

방정식 풀기: 로그 5 x \u003d 4 로그 5 3 - 1/3 로그 5 27

카드 #2:

계산: a) log211 - log244 =

나) log1/64 + log1/69 =

방정식 풀기: 로그 7 x \u003d 2 로그 7 5 + 1/2 로그 7 36 - 1/3 로그 7 125.

정면 계급 조사(구강 운동)

계산: (슬라이드 번호 5)

  1. 로그 2 16
  2. 로그 3 √3
  3. 로그 7 1
  4. 로그 5(1/625)
  5. 로그 2 11 - 로그 2 44
  1. 로그 8 14 + 로그 8 32/7
  2. 로그 3 5 ∙ 로그 5 3
  3. 5 로그 5 49
  4. 8 로그 8 5 - 1
  5. 25 –로그 5 10

숫자 비교: (슬라이드 번호 6)

  1. log ½ e 및 log ½ π;
  2. log 2 √5/2 및 log 2 √3/2.

표현의 기호 찾기로그 0.8 3 로그 6 2/3. (슬라이드 번호 7)

  1. 숙제 확인:

327번(비시간), 331(비시간), 333(2) 및 390(6)번 연습이 집에 할당되었습니다. 이 작업에 대한 답을 확인하고 학생들의 질문에 답하십시오.

  1. 새로운 자료 학습:

정의: 로그 부호 아래에 변수를 포함하는 방정식을 로그 방정식이라고 합니다.

대수 방정식의 가장 간단한 예는 다음 방정식입니다.
통나무 a x \u003d c (a\u003e 0, a ≠ 1)
대수 방정식을 푸는 방법:(슬라이드 번호 8)

  1. 로그의 정의에 기초한 방정식의 해.(슬라이드 번호 9)

로그 x = c(a > 0, a≠ 1)의 해는 x = a입니다.와 함께 .

로그의 정의에 따라 다음과 같은 방정식이 풀립니다.

  • 밑과 숫자가 주어지면 로그가 결정됩니다.
  • 로그와 밑이 주어지면 숫자가 결정됩니다.
  • 밑은 주어진 숫자와 로그에 의해 결정됩니다.

예:

log 2 128= x, log 16 x = ¾, log x 27= 3,

2 x \u003d 128, x \u003d 16 ¾, x 3 \u003d 27,

2 x \u003d 2·7, x \u003d 2·3, x 3 \u003d 3·3,

x \u003d 7. x = 8. x = 3.

a) 로그 7 (3x-1)=2 (답: x=3 1/3)

b) 로그 2 (7-8x)=2 (답변: x=3/8).

  1. 강화 방법.(슬라이드 번호 10)

강화는 대수를 포함하는 등식에서 대수를 포함하지 않는 등식으로의 전환을 의미합니다.

로그 a f(x) = 로그 a g(x), f(x) = g(x), 단 f(x)>0, g(x)>0, a>0, a≠ 1.

예시:

방정식 풀기 =

오즈:

3x-1>0; 엑스>1/3

6x+8>0.

3x-1=6x+8

3x=9

x=-3

3 >1/3 - 부정확

답변: 해결책이 없습니다.

lg(×2 -2) \u003d lg x (답: x \u003d 2)

  1. 기본 로그 항등식을 적용하여 방정식을 풀었습니다.(슬라이드 번호 11)

예시:

방정식 풀기=로그 2(6-x)

오즈:

6-x>0;

x>0;

x≠1;

로그 2 x 2 >0;

x 2 >0.

시스템 솔루션: (0;1)Ụ (1;6).

로그 2(6-x)

× 2 = 6 ×

x 2 + x-6 = 0

x=-3은 ODZ에 속하지 않습니다.

x=2는 ODZ에 속합니다.

답: x=2

클래스로 다음 방정식을 풉니다.:

= (답: x=1)

  1. 로그를 같은 밑으로 줄이는 방법.(슬라이드 번호 12)

예시:

로그 방정식 풀기 16 x+ 로그 4 x+ 로그 2 x=7

ODZ: x>0

¼ 로그 2 x+½ 로그 2 x+ 로그 2 x=7

7/4 로그 2 x=7

로그 2 x=4

х=16 – ODZ에 속합니다.

답: x=16.

클래스를 사용하여 다음 방정식을 풉니다.

3(답: x=5/3)

  1. 로그의 속성을 적용하여 방정식을 풀었습니다.(슬라이드 번호 13)

예시:

로그 방정식 풀기 2(x +1) - 로그 2(x -2) = 2.

오즈:

x+1>0;

x-2>0. x>1.

몫의 로그의 로그 차이를 변환하기 위해 공식을 사용하면 로그를 얻습니다. 2 = 2, 다음과 같은 경우= 4.

마지막 방정식을 풀면 x \u003d 3, 3\u003e 1 - 오른쪽

답: x = 3.

클래스와 함께 다음 방정식을 풉니다.

a) 로그 5(x + 1) + 로그 5 (x +5) = 1 (대답: x=0).

b) 로그 9(37-12x) 로그 7-2x 3 = 1,

37-12x >0, x

7-2x >0, x

7-2x≠ 1; x≠ 3; x≠ 3;

로그 9(37-12x) / 로그 3(7-2x) = 1,

½ 로그 3(37-12x) = 로그 3(7-2x),

로그 3(37-12x) = 로그 3(7-2x) 2,

37-12x \u003d 49 -28x + 4x 2,

4x 2 -16x +12 \u003d 0,

X 2 -4x +3 \u003d 0, D \u003d 19, x 1 \u003d 1, x 2 =3, 3은 외근입니다.

답변: x=1은 방정식의 근입니다.

C) lg (x 2 -6x + 9) - 2lg (x - 7) = lg9.

(x 2 -6x + 9) > 0, x ≠ 3,

X-7 >0; x>7; ×>7.

lg((x-3)/(x-7)) 2 = lg9

((x-3)/(x-7)) 2 = 9,

(x-3) / (x-7) \u003d 3, (x-3) / (x-7) \u003d-3,

x-3 \u003d 3x -21, x -3 \u003d - 3x +21,

x=9. x=6 - 외부 루트.

수표는 방정식의 9근을 보여줍니다.

답: 9

  1. 새로운 변수를 도입하여 방정식을 풀었습니다.(슬라이드 번호 14)

예시:

lg 방정식 풀기 2 x-6lgx + 5 \u003d 0.

ODZ: x>0.

lgx = p라고 하면 p 2 -6p+5=0.

p1=1, p2=5.

교체로 돌아가기:

lgх = 1, lgх =5

x=10, 10>0 – 참 x=100000, 100000>0 – 참

답: 10, 100000

클래스를 사용하여 다음 방정식을 풉니다.

로그 6 2 x + 로그 6 x +14 \u003d (√16 - x 2) 2 + x 2,

16 - x 2 ≥0; - 4≤x≤4;

X>0, x>0, O.D.Z. [ 0.4).

로그 6 2 x + 로그 6 x +14 \u003d 16 - x 2 + x 2,

로그 6 2 x + 로그 6 x -2 = 0

로그 6 x = t 바꾸기

티 2 + 티 -2 \u003d 0; D=9; 티 1 \u003d 1, 티 2 \u003d -2.

로그 6 x = 1, x = 6은 외근입니다.

로그 6 x=-2, x=1/36, 1/36이 루트임을 확인하십시오.

답: 1/36.

  1. 인수분해로 푸는 방정식.(슬라이드 번호 15)

예시:

로그 방정식 풀기 4 (2x-1) ∙ 로그 4 x \u003d 2 로그 4 (2x-1)

오즈:

2x-1>0;

엑스>0. x>½.

log 4(2x-1)∙ log 4 x - 2 log 4(2x-1)=0

log4(2x-1)∙(log4x-2)=0

log 4 (2x-1)=0 또는 log 4 x-2=0

2x-1=1 로그 4 x = 2

엑스=1 엑스=16

1;16 - ODZ에 속함

답변: 1;16

클래스를 사용하여 다음 방정식을 풉니다.

log 3 x ∙log 3(3x-2)= log 3(3x-2) (답: x=1)

  1. 방정식의 두 부분의 로그를 취하는 방법.(슬라이드 번호 16)

예시:

방정식 풀기

밑이 3인 방정식의 양변에 로그를 취합니다.

로그 3 = 로그 3(3x)

log 3 x 2 log 3 x \u003d log 3 (3x),

2log 3 x log 3 x = log 3 3+ log 3 x,

2 로그 3 2 x \u003d 로그 3 x +1,

2 log 3 2 x - log 3 x -1=0,

로그 3 x = p, x > 0 바꾸기

2p 2 + p -2 \u003d 0; D=9; 피 1 \u003d 1, 피 2 \u003d -1/2

로그 3 x = 1, x=3,

로그 3 x \u003d -1 / 2, x \u003d 1 / √3.

답변: 3; 1/√3

클래스를 사용하여 다음 방정식을 풉니다.

로그 2 x - 1

x \u003d 64 (답: x \u003d 8; x \u003d 1/4)

  1. 기능적 - 그래픽 방식.(슬라이드 번호 17)

예시:

방정식 풀기: 로그 3x = 12x.

함수 y = 로그 이후 3 x가 증가하고 함수 y \u003d 12 x가 (0; + ∞)에서 감소하면이 간격의 주어진 방정식에는 하나의 근이 있습니다.

하나의 좌표계에서 두 함수의 그래프를 작성해 보겠습니다. y = log 3x 및 y = 12x.

x=10에서 주어진 방정식은 올바른 수치 평등 1=1로 바뀝니다. 답은 x=10입니다.

클래스를 사용하여 다음 방정식을 풉니다.

1-√x \u003d ln x (답: x \u003d 1).

  1. 요약, 반성 (남자들이 그림으로 기분을 표시하는 원을 나눠줍니다).(슬라이드 번호 18,19)

방정식을 푸는 방법을 결정하십시오.

  1. 숙제: 340(1), 393(1), 395(1.3), 1357(1.2), 337(1), 338(1), 339(1)

문학

  1. Ryazanovsky, A.R. 수학. 5-11 학년: 수학 수업을 위한 추가 자료 / A.R. Ryazanovsky, E.A. Zaitsev. - 2판, 고정관념. -M. : Bustard, 2002
  2. 수학. 신문 "9월 1일" 보충. 1997. 1, 10, 46, 48; 1998. 8, 16, 17, 20, 21, 47호.
  3. Skorkina, N.M. 비표준 형태의 과외 활동. 중학교 및 고등학교 / N.M. Skorkin. - 볼고그라드: 교사, 2004
  4. Ziv, B.G., Goldich, V.A. 10./B.G.Ziv, V.A.Goldich에 대한 대수학 및 분석 원리에 대한 교훈 자료. - 3판, 수정. - 상트페테르부르크: "CheRo-on-Neva", 2004
  5. 대수학 및 분석의 시작: 기술 학교를 위한 수학 / ed. G.N. Yakovleva.-M.: Nauka, 1987

시사:

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슬라이드 캡션:

대수 방정식을 푸는 방법 수학 교사: Plotnikova T.V. MBOU "수즈달 제1중등학교"

정의 밑수 a에 대한 양수 b의 로그(a>0, a≠1)는 b를 얻기 위해 a를 올려야 하는 지수 c입니다.

로그의 속성 log a 1 = 0 log a a = 1 log a (x y)= log a x + log a y 3

기본 전송 공식 4

계산: 5

비교 6

7 숫자의 부호를 결정합니다.

대수 방정식을 푸는 기본 방법

1. 로그의 정의를 사용하여 log 2 128= x log x 27= 3 다음 방정식을 풉니다. a) log 7 (3x-1)=2 b) log 2 (7-8x)=2 9

2. 증강 방법 다음 방정식을 풀어봅시다: lg (x 2 -2) = lg x 10 2

11 3. 기본 대수 항등식을 적용하여 푸는 방정식 다음 방정식을 풀어 봅시다: 1

12 4 . 로그를 같은 밑으로 줄이는 방법 log 16 x + log 4 x + log 2 x = 7 다음 방정식을 풉니다.

13 5. 대수 log 2 (x +1)-log 2 (x-2) \u003d 2의 속성을 적용하여 해결되는 방정식 다음 방정식을 풉니다. a) log 5 (x +1) + log 5 ( x +5) \u003d 1 b) 로그 9 (37-12x) 로그 7-2x 3 \u003d 1 c) lg (x 2 -6x + 9)-2lg (x-7) \u003d lg9 0 1 9

6. 새로운 변수 lg 2 x - 6lgx +5 = 0을 도입하여 방정식 풀기 다음 방정식을 풉니다. log 6 2 x + log 6 x +14 = (√16 - x 2) 2 + x 2 14

15 7. 인수분해로 풀 수 있는 방정식 log 4 (2x-1)∙ log 4 x =2 log 4 (2x-1) 다음 방정식을 풉니다: log 3 x ∙ log 3 (3x-2)= log 3 ( 3x-2 ) 1

8. 대수법 다음 방정식을 풀어봅시다: 16

9. 기능적으로 - 그래픽 방법 log 3 x = 12-x 다음 방정식을 풀어봅시다: 17 1

방정식을 푸는 방법을 결정합니다: 방정식: 다른 밑으로 대수 전이를 결정하기 위한 해결 방법 인수분해 강화 다른 밑으로 새로운 변수 전이의 도입 로그 로그 그래픽의 속성 사용 18

예! 그리고 누가 이러한 대수 방정식을 생각해 냈습니까! 나는 무엇이든 할 수있다!!! 몇 가지 예가 더 필요하십니까? 반사 19


대수 11학년

주제: "로그 방정식을 푸는 방법"

수업 목표:

    교육적인: 대수 방정식을 푸는 다양한 방법에 대한 지식 형성, 각각의 특정 상황에 적용하고 해결 방법을 선택하는 능력;

    개발 중: 새로운 상황에서 지식을 관찰하고, 비교하고, 적용하고, 패턴을 식별하고, 일반화하는 기술 개발; 상호 통제 및 자기 통제 기술 형성;

    교육적인: 교육 작업에 대한 책임있는 태도 교육, 수업 자료에 대한 신중한 인식, 기록 보관의 정확성.

수업 유형 : 새로운 자료에 익숙해지는 수업입니다.

"로그의 발명은 천문학자의 작업을 단축함으로써 그의 수명을 연장했습니다."
프랑스의 수학자이자 천문학자인 P.S. 라플라스

수업 중

I. 수업 목표 설정

로그의 정의, 로그의 속성 및 로그 함수를 통해 로그 방정식을 풀 수 있습니다. 모든 대수 방정식은 아무리 복잡하더라도 동일한 알고리즘을 사용하여 해결됩니다. 오늘 수업에서 이러한 알고리즘을 고려할 것입니다. 그들 중 몇 가지가 있습니다. 당신이 그들을 마스터하면 로그가있는 모든 방정식이 당신 각자에게 가능할 것입니다.

공책에 "대수 방정식을 푸는 방법"이라는 수업 주제를 적으십시오. 나는 모두가 협력하도록 초대합니다.

II. 기본 지식 업데이트

수업 주제를 공부할 준비를합시다. 각 과제를 풀고 답을 적으면 조건을 적을 수 없습니다. 쌍으로 작업하십시오.

1) x의 어떤 값에 대해 함수가 의미가 있습니까?

ㅏ)

비)

안에)

이자형)

(슬라이드별 정답 확인 및 오류 정리)

2) 함수 그래프가 일치합니까?

a) y = x 및

비)그리고

3) 등식을 대수 등식으로 다시 작성하십시오.

4) 밑이 2인 로그로 숫자를 씁니다.

4 =

2 =

0,5 =

1 =

5) 계산 :

6) 이러한 평등에서 누락된 요소를 복원하거나 완성하십시오.

III. 신소재 소개

진술이 화면에 표시됩니다.

"방정식은 모든 수학적 참깨를 여는 황금 열쇠입니다."
현대 폴란드 수학자 S. Koval

대수 방정식의 정의를 공식화하십시오. (로그 부호 아래에 미지수를 포함하는 방정식 ).

고려하다가장 간단한 대수 방정식: 통나무 ㅏ x = b (여기서 a>0, a ≠ 1). 로그 함수는 양수 집합에서 증가(또는 감소)하고 모든 실제 값을 취하기 때문에 모든 b에 대해 이 방정식에는 하나의 솔루션과 양수 솔루션만 있다는 근본 정리를 따릅니다.

로그의 정의를 기억하십시오. (밑수 a에 대한 숫자 x의 로그는 숫자 x를 얻기 위해 밑수 a를 올려야 하는 지수입니다. ). 다음은 로그의 정의에서 바로 이어집니다.ㅏ 안에 그런 솔루션입니다.

제목을 적으십시오:대수 방정식을 푸는 방법

1. 로그의 정의에 따라 .

이것이 형식의 가장 간단한 방정식입니다..

고려하다514(a ): 방정식 풀기

그것을 해결하기 위해 어떻게 제안합니까? (로그의 정의에 따라 )

결정 . , 따라서 2x - 4 = 4; 엑스 = 4.

답변: 4.

이 작업에서 2x - 4 > 0입니다.> 0이므로 외부 근이 나타날 수 없으며확인이 필요하지 않습니다 . 이 작업에서 조건 2x - 4 > 0은 내보낼 필요가 없습니다.

2. 강화 (주어진 표현식의 로그에서 이 표현식 자체로 전환).

고려하다519(g): 통나무 5 ( 엑스 2 +8)- 통나무 5 ( 엑스+1)=3 통나무 5 2

어떤 기능을 알아차렸나요?(밑이 같고 두 식의 로그가 같음) . 무엇을 할 수 있습니까?(강화).

이 경우, 로그 표현이 양수인 모든 x 중에 임의의 해가 포함된다는 점을 고려해야 합니다.

결정: 오즈:

엑스 2 +8>0 추가 불평등

통나무 5 ( 엑스 2 +8) = 통나무 5 2 3 + 통나무 5 ( 엑스+1)

통나무 5 ( 엑스 2 +8)= 통나무 5 (8 엑스+8)

원래 방정식을 강화

엑스 2 +8= 8 엑스+8

우리는 방정식을 얻는다엑스 2 +8= 8 엑스+8

해결해 봅시다:엑스 2 -8 엑스=0

x=0, x=8

답변: 0; 여덟

일반적으로동등한 시스템으로 전환 :

방정식

(시스템에는 중복 조건이 포함되어 있습니다. 부등식 중 하나는 무시할 수 있습니다.)

수업에 대한 질문 : 이 세 가지 솔루션 중 가장 마음에 들었던 솔루션은 무엇입니까? (방법에 대한 논의).

당신은 어떤 식으로든 결정할 권리가 있습니다.

3. 새로운 변수의 도입 .

고려하다520(g)호 . .

당신은 무엇을 알아 차렸습니까? (이것은 log3x에 대한 이차 방정식입니다) 당신의 제안? (새로운 변수 도입)

결정 . ODZ: x > 0.

하자, 방정식은 다음 형식을 취합니다.. 판별식 D > 0. 비에타의 정리에 의한 근:.

교체로 돌아가기:또는.

가장 간단한 대수 방정식을 풀면 다음을 얻습니다.

; .

대답 : 27;

4. 방정식 양변의 로그.

방정식을 풉니다..

결정 : ODZ: x>0, 밑이 10인 등식의 양변에 로그를 취합니다.

. 정도의 로그 속성을 적용합니다.

(lgx + 3) LGx =

(lgx + 3) LGx = 4

lgx = y라고 하면 (y + 3)y = 4

, (D > 0) Vieta 정리에 따른 근: y1 = -4 및 y2 = 1.

교체로 돌아가서 다음을 얻습니다. lgx = -4,; logx = 1,. . 다음과 같다: 기능 중 하나인 경우 와이 = 에프(엑스) 증가하고 다른 y = 지(엑스) 구간 X에서 감소하면 방정식 에프(엑스)=지(엑스) 구간 X에서 최대 하나의 근을 가짐 .

루트가 있으면 추측할 수 있습니다. .

대답 : 2

“방법의 올바른 적용은 배울 수 있고,
다양한 예제에 적용하는 것만으로도 충분합니다.
덴마크의 수학 역사가 G. G. Zeiten

나 V. 숙제

P. 39 예제 3, No. 514 (b), No. 529 (b), No. 520 (b), No. 523 (b)를 고려하십시오.

V. 수업 요약

수업에서 대수 방정식을 푸는 방법은 무엇입니까?

다음 단원에서는 더 복잡한 방정식을 살펴보겠습니다. 이를 해결하기 위해 연구된 방법이 유용합니다.

마지막 슬라이드 표시:

“세상에서 무엇보다 중요한 것이 무엇입니까?
공간.
가장 현명한 것은 무엇입니까?
시간.
가장 즐거운 것은 무엇입니까?
원하는 것을 이루세요."
탈레스

나는 모두가 원하는 것을 성취하기를 바랍니다. 귀하의 협조와 이해에 감사드립니다.